Системы счисления

Мы привыкли к десятичной системе счисления. ЦЭВМ, как правило, работает в двоичной, восьмиричной или шестнадцатиричной системах (в зависимости от схемного решения). Рассмотрим общие положения построения систем счисления и перевод чисел из одной системы в другую.

Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа. В десятичной системе общее количество символов равно 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). В системе счисления с основанием 2 – два символа (0,1). Любое число в десятичной системе можно записать в виде

а₁^. 10^n-1 + a₂^. 10^n-2 + a₃ ^. 10^n-3 + ...

Например:

(897.43)₁₀= 8 ^. 10² + 9 ^. 10¹+ 7 ^. 10⁰, + 4 ^. 10^-1+ 3 ^. 10^-2.

сотни десят. единиц.

В зависимости от места положения цифры у нее разная значимость (вес).В двоичной системе число (1001011) можно представить в виде:

(1001011)₂= 1^.2⁶ + 0^.2⁵+ 0^.2⁴+ 1^.2³+ 0^.2²+ 1^.2¹ + 1^.2⁰= (75)₁₀

В восьмиричной системе счисления 8 символов (0,1,2,3,4,5,6,7). Например: (136)₈ = 1^.8²+ 3^.8¹+ 6^.8⁰ = (94)₁₀

В шестнадцатиричной – 16 символов, но так как цифр не хватает, то используют заглавные буквы латинского алфавита (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

(10A,F)₁₆= 1^.16²+ 0^.16¹+ 10^.16⁰, 15^.16¹= (256, 15/16)₁₀

В общем виде

а₁а₂а₃… a_k-1 a_k= a₁d^^-1+ a₂ d^^-2+ a₃d^^-3+ … + a_kd^^-^k,

где d – основание системы;

 – фиксированное число, определяющее положение запятой (число разрядов до запятой);

k – количество разрядов.

Вместо цифр за скобками иногда ставят буквы, указывающие в какой системе записано число: десятичная – D; двоичная – В; восьмиричная – Q; шестнадцатиричная – Н.

В таблице 3.1 представлено значение некоторых чисел в различных системах счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d₁ в систему счисления с основанием d₂, необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d₂ до тех пор, пока не получится частное меньше основания d₂. Последнее частное – это старшая цифра в новой системе счисления, следующие цифры – это остатки от деления, записываемые в последовательности обратной получению. При выполнении переводов все арифметические действия производят в той системе, в которой записано переводимое число.

Таблица 3.1 – Соответствие чисел в различных системах счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмиричная	Шестнадцатиричная
1	2	3	4
0	00000000	000	00

Продолжение таблицы 3.1
1	2	3	4
1	00000001	001	01
2	00000010	002	02
3	00000011	003	03
4	00000100	004	04
5	00000101	005	05
6	00000110	006	06
7	00000111	007	07
8	00001000	010	08
9	00001001	011	09
10	00001010	012	0А
11	00001011	013	0В
12	00001100	014	0С
13	00001101	015	0D
14	00001110	016	0E
15	00001111	017	0F
16	00010000	100	10
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
255	11111111	377	FF
256	10000000	400	100