5. Истечение газов из сопел и диффузоров

Весьма важным примером открытой термодинамической сис­темы является движение газа через канал переменного сечения: сопло, диффузор, насадку или сопло Лаваля. Такие каналы при­меняются в горелках для сжигания газообразного и пылевидного топлива или в форсунках для жидкого топлива, в фурмах для подачи газов (воздуха, кислорода) в жидкий металл и др. Техни­ческая работа в них не совершается, l_тех = 0, и так как длина такого канала невелика, а скорость газа в них высока, то время прохождения настолько мало, что можно считать течение адиа­батным, т. е. q = 0. При таких условиях уравнение первого зако­на для потока принимает вид:

w²₂/2 – w²₁/2 = h₁ – h₂, (5.11)

как в случае, рассмотренном выше (5.7).

Рассчитаем процесс истечения газа из резервуара с параметра­ми р₁, υ₁и T₁ через сужающееся сопло с площадью начального сечения f₁. Сечение сопла на выходе газа f₂ <f₁, давление газа на выходе из сопла р₂ равно давлению окружающей среды. Скорость газа на входе в сопло w₁, на выходе — w₂. Расчет сопла сводится к определению скорости газа на выходе, его массового секундно­го расхода G и площади поперечного сечения сопла f₂.

Примем, что площадь поперечного сечения сопла на входе достаточно велика, тогда w₁ 0, а скорость на выходе определим из уравнения (5.11):

. (5.12)

С учетом того, что процесс адиабатный и u₁ — u₂ = l, запишем

∆h = h₁ – h₂ = (u₁ – u₂) + (p₁υ₁ – p₂υ₂) = (1/(k-1)) (p₁υ₁ – p₂υ₂) + (p₁υ₁ – p₂υ₂) = (k/(k-1)) (p1υ1 – p2υ2).

С учетом уравнения адиабаты , получим после подстановки

, м/с. (5.13)

Массовый секундный расход газа из уравнения неразрывности потока получим в виде

, кг/с, (5.14)

где β = p₂/p₁ — степень расширения газа на выходе.

На рис. 5.4 построена кривая зависимости G(β) по уравне­нию 5.14, имеющая вид параболы (0K1).

Рис. 5.4. Зависимость массового расхода через сопло от отношения р₂/р₁

Однако экспериментальные данные дают хорошее совпадение только с одним участком кривой (1 К) — для β_кр≤ β≤1, а в диа­пазоне 0≤ β≤ β_кр , расход, соответствующий β_кр, не снижается, а остается неизменным (КD), равным G_кр, т.е. максимальным. Причем, как бы ни понижалось давление окружающей среды р₂, давление на выходе из сопла остается постоянным и соответству­ющим р_кр. Для того чтобы отыскать максимум зависимости (5.14), первую производную от выражения в квадратных скобках при­равняем нулю:

,

в результате получим

. (5.15)

Это значит, что отношение критического давления на выходе из сопла к давлению на входе величина постоянная для каждого газа, так как зависит только от его приро­ды или показателя адиабаты. Например, для одноатомных газов - k = 1,67, β_KP=0,49, для двухатомных — k = 1,4, β_KP = 0,528. В первом приближении можно принять β_KP ≈ 0,5.

Скорость газа на выходе из сопла в за­висимости от р изменяется аналогично изменению расхода G. Для критического значения β найдем ско­рость по уравнению (5.13):

. (5.16)

Для того чтобы выразить w_KP через выходные параметры потока, подставим в уравнение адиабаты значение p_KP/p₁ = β_KP и получим Т₁ = Т_KP((k+1)/2), отсюда

. (5.17)

Из курса физики известно, что есть скорость звука в среде с параметрами p_кр и υ_кр. Итак, критическая ско­рость истечения из сужающегося сопла равна местной скорости звука, а значит и скорости распространения импульса давления. Этим объясняется, почему снижение давления р₂ ниже р_кр не приводит к каким-либо изменениям w_кр и G_кр.

Зная величину β_кр, из уравнения (5.14) получим

, кг/с, (5.18)

где f_min — сечение сопла на выходе, при котором достигается мак­симальный расход и максимальная скорость истечения.

Из уравнения неразрывности можно определить это критичес­кое или минимальное сечение сопла:

, м². (5.19)

Итак, сужение сопла ведет к росту скорости, а при f_min скорость достигнет своего предела - скорости звука.

Из первого закона термодинамики для потока, уравнения не­разрывности и уравнения адиабатного процесса после некоторых преобразований получено уравнение, связывающее изменение скорости на выходе из канала в зависимости от изменения его сечения для всего диапа­зона скорости:

. (5.20)

Рис. 5.5 – Изменение скорости газа w, давле­ния р и местной скорости звука а по длине сопла Лаваля

При дозвуковом истечении, когда w²/a²< 1, сужение канала ведет к росту скорости, а расширение — к уменьшению. Однако при условии w²/a² > 1, т. е. при сверхзвуковом пото­ке, увеличение (расшире­ние) сечения приведет к дальнейшему росту ско­рости. Значит, чтобы получить скорость на выходе из сопла выше скорости звука, сопло должно состоять из участка сужения до f_min, где будет скорость звука, а следом за ним расширяющегося участка, т. е. диффузора. Это сопло Лаваля. Характер изменения параметров газа по длине сопла Лаваля дан на рис. 5.5.

6. Сжатие газа в компрессоре (рис. 5.6)

Работа компрессора l_тех, т. е. затраты на сжатие, включают не только работу всасывания (площадь 411'О) и вытеснение газа (площадь 2302'), но и работу изменения объема (площадь 122'1'), т.е. работу процесса сжатия, l_TEX= h₁ - h₂ + q. Величина l_тех зависит от вида процесса.

Если процесс адиабатный (1 — 2а), как в примере 1, то работа компрессора l _ад.тех = h₁ - h₂, т. к. q = 0. Далее

l ^ад._тех = h₁ - h₂ = u₁- u₂ +р₁υ₁ – р₂υ₂ = с_υ(T₁- Т₂)+ р₁υ₁ – р₂υ₂ =

= (R/(k-1))(T₁- Т₂)+ R(T₁- Т₂)=

= (Rk/(k-1))(T₁- Т₂)=(k/(k-1))( р₁υ₁ – р₂υ₂) = kl_ад.

Таким образом, работа компрессора (площадь 12a34) в k раз боль­ше, чем работа адиабатного процесса сжатия l_ад (площадь 122'1').

В случае изотермического процесса сжатия 1—2т, когда темпе­ратура газа остается равной температуре окружающей среды, из общего уравнения работы компрессора получим

l_тех = h1 - h₂ + q = q, так как h₁ = h₂.

Для изотермического процесса q= l_из = RТ ln (υ₁/υ₂)= RТ ln (p₂/p₁) = p₁υ₁ln (p₂/p₁). Итак, для Т = const величина l _из._TEX= l_из. Если для адиабаты показатель политропы n = k, а для изотермы n = 1, то для политропного сжатия работа такого компрессора равна l^пол._тех = nl_пол. Тогда для любого процесса

l^пол._тех ⁼ nl_пол=(n/(n-1) (р₁υ₁ – р₂υ₂) = (Rn/(n-1)(T1 – T2).

С учетом уравнения политропы получим еще одно выражение работы идеального компрессора

. (5.21)

Из сравнения этих процессов следует, что самым экономич­ным является изотермический компрессор, невыгодным - адиабатный, политропический занимает промежуточное значение (1 — 2п), так как 1 < n< k. Однако изотермический компрессор осуществить практически невозможно.

Рис. 5.6 – Схема поршневого компрессора (а) и диаграмма р - υ сжатия газа в иде­альном компрессоре (б): 1 — поршень; 2 — цилиндр; 3, 4 — клапан; 5 — выход газа

Рис. 5.7 – Схема компрессора с трехступенчатым сжатием: I, II, III - ступени сжатия; 1, 2 – холодильники

Рис.5.8 – Ступенчатое сжатие на диаграммах р – υ (а) и Т – s (б)

Повышение экономической эффективности политропического сжатия газа достигается способом ступенчатого сжатия. Процесс ступенчатого сжатия в нескольких последовательно соединенных цилиндрах с промежуточным охлаждением газа до начальной тем­пературы после каждой ступени сжатия показан на рис. 5.7. Оче­видно, чем больше число ступеней сжатия и охлаждения, тем ближе процесс к изотермическому, т. е. к наиболее экономично­му. На р – υ- и Т – s-диаграммах (рис 5.8) изображен трехступен­чатый процесс политропического сжатия с двумя промежуточны­ми процессами охлаждения при р = const. Из диаграммы р – υ видно, что работа, затраченная в таком компрессоре, от р₁ до р₂ определяется площадью 012345680. Для сравнения работа одно­ступенчатого компрессора для того же давления р — площадью 01980. Заштрихованная на диаграмме площадь показывает выиг­рыш в затратах работы трехступенчатого компрессора.