8.2.2 Методи Адамса

На відміну від однокрокових методів, у яких числовий розв’язок одержують тільки з диференціального рівняння і початкової умови, алгоритми Адамса складаються з двох частин: перша з них – стартова процедура для визначення (наближені значення точного розв’язку в точках ), а друга – багатокрокова формула для одержання наближеного значення точного розв’язку . Потім ця формула застосовується рекурсивно для того, щоб за числовим розв’язком на послідовних кроках обчислити і т.д.

Стартові значення можна одержати декількома способами. Дж. К. Адамс обчислював їх за допомогою розкладання точного розв’язку в ряд Тейлора. Інший спосіб полягає у використанні якого-небудь однокрокового методу, наприклад, Рунге-Кутта. Стартові значення часто також обчислюють методами Адамса низького порядку з дуже малим кроком.

Розглянемо чисельні методи розв’язання задачі Коші (8.1)-(8.2), які можуть бути задані формулою

. (8.25)

Тут значення розв’язку в точці визначається через значення розв’язку в точках, що передують . Такий метод називається - кроковим.

З класу (8.25) виділимо багатокрокові методи вигляду

, (8.26)

застосовувані на сітці з постійним кроком

(8.27)

Різниця між найбільшим і найменшим значеннями індексу невідомої функції у_n, що входить у рівняння (8.26), дорівнює . Тому співвідношення (8.26) є різницевим рівнянням -го порядку, загальний розв’язок якого залежить від параметрів. Щоб виділити єдиний розв’язок цього рівняння, необхідно задати додаткових умов на функцію у_п. Цими додатковими умовами є значення функції у_n при n = 0,1,... , -1:

(8.28)

які передбачаються відомими.

Використовуючи значення (8.28), з рівняння (8.26) при n=0 можна знайти , потім, використовуючи значення і покладаючи в (8.26) n =1, знайти і т.д. Таким чином, даний метод чисельного розв’язання диференціального рівняння полягає в розв’язанні різницевої задачі Коші для різницевого рівняння (8.26) і початкових умов (8.28).

Якщо шуканий розв’язок входить до правої частини цього рівняння, що буває, коли , то формула (8.26) визначає неявний метод. Якщо , то шуканий розв’язок до правої частини не входить і рівняння (8.26) може бути розв’язане відносно . У цьому випадку формула (8.26) визначає явний метод.

Виведемо групу явних багатокрокових формул. Для точок сітки введемо позначення і припустимо, що нам відомі числові наближені значення точного розв’язку задачі (8.1)-(8.2).

З диференціального рівняння випливає

. (8.29)

До правої частини (8.29) входить шуканий розв’язок . Але оскільки нам відомі його наближені значення , то ми маємо також і величини

, (8.30)

а тому природно замінити функцію в (8.29) інтерполяційним многочленом, що проходить через точки . Його можна виразити через скінченні різниці вигляду у такий спосіб:

(8.31)

(інтерполяційна формула Ньютона). Тоді чисельний аналог (8.29) задається формулою , або після підстановки (8.31)

, (8.32)

де коефіцієнти задовольняють рівність

. (8.33)

Числові значення цих коефіцієнтів наведені в таблиці 8.1.

Окремі випадки формули (8.32).

Для , виразивши різниці назад через , одержимо такі формули:

Зауваження. Для ми маємо явний метод Ейлера.

Таблиця 8.1

	0 1 2 3 4 5 6 7 8
	1

Похибка апроксимації явного двокрокового методу Адамса має другий порядок.

Неявний двокроковий метод Адамса виглядає так:

Похибка апроксимації має третій порядок .