8.4 Різницева задача на власні значення

Розглянемо диференціальну задачу Штурма-Ліувілля

Числа і відповідні функції u(x) 0, що задовольняють поставлену крайову задачу називаються власними числами і власними функціями відповідно. Для даної задачі

Зауважимо, що функції u_m(x) є лінійно незалежними і взаємно ортогональними й можуть бути нормовані.

Для різницевої задачі на власні значення

відповідні власні функції і власні значення різницевої задачі мають вигляд

Відмітимо, що функції y_m(x) є лінійно незалежними і взаємно ортогональними, як і в диференціальному випадку, й можуть бути нормовані.

Питання і завдання до розділу 8

Постановка задачі Коші. Дискретна задача Коші: основні поняття і визначення (сітка, сіткові функції, чисельний метод, апроксимація, збіжність).
Виведення формули методу Ейлера, його геометрична інтерпретація, стійкість, оцінка похибки, вплив обчислювальної похибки.
Методи Рунге-Кутта. Виведення формул. Оцінка похибки.
Явні однокрокові методи. Оцінка похибки за правилом Рунге.
Чисельне розв’язання задачі Коші для систем диференціальних рівнянь.
Апроксимація, стійкість і збіжність чисельних методів розв’язання задачі Коші.
Багатокрокові методи Адамса.
Виведення формул методу прогнозу і корекції.
Жорсткі задачі і методи їхнього розв’язання.
Застосовуючи метод Ейлера , знайти розв’язок задачі Коші у трьох послідовних точках:
Для задачі Коші виконати один крок довжини 0.1 за методом Ейлера й оцінити похибку знайденого значення за правилом Рунге.
Методом Рунге-Кутта 2 порядку точності знайти розв’язок системи диференціальних рівнянь у двох послідовних точках , .
Оцінити похибку апроксимації похідної різницевим відношенням .
Звести рівняння другого порядку до системи рівнянь першого порядку і скласти розрахункові формули методу прогнозу і корекції для розв’язку отриманої системи рівнянь , .
З'ясувати, чи апроксимують методи a) b) перше рівняння задачі Коші
Для розв’язання задачі Коші застосовується метод вигляду Визначити порядок апроксимації.
Дано систему ОДУ першого порядку з постійними коефіцієнтами , причому відомі власні значення матриці : a) , b) , c) . У яких випадках систему можна вважати жорсткою?