13.1.2. Кривая нормального распределения и ее свойства

В результате многочисленных экспериментов было установлено, что при механической обработке деталей вероятность получения линейного размера в пределах некоторого интервала его изменения определяется следующим выражением

. (13.13)

Функция

(13.14)

называется плотностью вероятности случайных величин и выражает закон нормального распределения. График этой функции приведен на рис.13.2 и называется кривой нормального распределения.

Из формулы (13.14) следует, что плотность вероятности случайных величин для линейных размеров имеет размерность обратную длине, т.к. среднее квадратическое отклонение имеет данную размерность. В этой связи плотность вероятности следует рассматривать, как вероятность появления случайной величины в окрестности некоторой точки на отрезке единичной длины. В окрестностях плотность вероятности высокая , т.е. вероятность появления случайной величины в окрестностях этой точки максимальная. С увеличением разности плотность распределения уменьшается.

Геометрически представляет собой площадь фигуры на отрезке под кривой нормального распределения.

Для достаточно узкого интервала согласно теореме о среднем

; . (13.15)

Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

1. Ось является асимптотой для ее ветвей.

2. При

. (13.16)

3. Кривая имеет две точки перегиба и , которые находятся на расстоянии от оси симметрии (рис.13.2). Ординаты их равны

. (13.17)

4. Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения и может принимать любые численные значения в интервале , то

. (13.18)

Это свойство вытекает из положения, что вероятность появления случайной величины в интервале равна единице.

Положение кривой относительно начала координат, и ее форма определяются двумя параметрами и . С изменением форма кривой остается прежней. Изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 13.3). С изменением центр кривой остается на прежнем месте. Изменяется ее форма (рис.13.4). С увеличением кривая растягивается и уменьшается по высоте. Таким образом, является мерой рассеяния случайной величины.

13.1.3. Нормирование распределения, функция Лапласа

Введем новую переменную . После замены переменной в (13.13) получаем

(13.19)

где и - новые пределы интегрирования.

Это действие называется нормированием распределения. . После нормирования плотность вероятности выразится следующим образом

(13.20)

Сущность операции нормирования заключается в сведении всего многообразия кривых распределения к одной, зависящей только от нормированной переменной. Для этой кривой среднее арифметическое равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно единице. Графическая интерпретация процедуры нормирования заключается в совмещении центра группирования с началом новой системы координат . В этом случае кривая нормального распределения становится симметричной относительно оси ординат и называется плотностью вероятности нормированного распределения.

Пусть ; . Тогда

, (13.21)

Интеграл называется функцией Лапласа.

Геометрически функция Лапласа выражает площадь фигуры под кривой плотности вероятности нормированного распределения в промежутке от 0 до . Интеграл в нельзя выразить в элементарных функциях и его значение задано в специальных таблицах.

Применение функции Лапласа позволяет вычислить теоретические частость и частоту. Из выражений (13.13) и (13.14) полагая получаем

. (13.22)

Выполним операцию нормирования. В результате замены переменной будем иметь

, (13.23)

где и - новые пределы интегрирования.

Тогда

(13.24)