Побудова графіків функцій

Побудову графіка функції у=f(x) пропонується проводити за такою схемою:

1. Визначають область визначення функції, області неперервності, точки розриву, точки перетину графіка функції з осями координат.

2. Якщо функція парна (f(-x)=f(x)) для будь-якого х або непарна (f(-x)=-f(x)), тоді базисний графік будують на [0, ]. Для побудови повного графіка достатньо базисний графік симетрично відобразити відносно осі Оу у випадку парної функції або початку координат – у випадку непарної функції.

3. Знаходять асимптоти графіка функції.

4. Знаходять проміжки спадання та зростання функції, точки екстремуму.

5. Після виконання викладеного будують графік функції в цілому.

Дослідимо функцію , притримуючись даної схеми.

1.Областю визначення функції є , х=4 – точка розриву. Точки перетину з віссю ОX: y=0, х=-3; з віссю OY: х=0, y=-2,25.

2. Функція не є ані парною, ані непарною. Графік симетрії немає.

3. Легко знаходимо, що х=4 – вертикальна асимптота, причому:

Знаходимо похилі асимптоти:

Таким чином, існує похила асимптота у=х+10.

4. Досліджуємо функцію на монотонність та локальний екстремум:

З =0 слідує х²-8х-33=0, звідки х₁=11, х₂=-3. В інтервалі , отже, функція зростає в цьому інтервалі; в інтервалі (-3;4) , отже функція спадає. Тому функція в точці х=-3 має локальний максимум: max(-3;0). В інтервалі (4;11) , отже функція спадає в цьому інтервалі; в інтервалі (11; ) , отже функція зростає. В точці х=11 маємо локальний мінімум: min (11;28).

5. Графік функції зображено на рисунку 15.1.

Рисунок 15.1

3. Використання похідної при розв’язанні оптимізаційних задач

1. Серед прямокутників з даним периметром 2p знайти той, площа якого найбільша.

Розв’язання. Нехай x – одна із сторін прямокутника, тоді друга p – x. Площа прямокутника S(x)=x(p–x). Функція S(x) має найбільше значення на [0, p], оскільки є неперервною. Знаходимо S′(x)=p–2x. Перша похідна перетворюється на нуль при . Оскільки S″(x)=–2, тобто від’ємна при всіх значеннях x, то при функція має найбільше значення. Шуканий прямокутник – квадрат.

2. Треба виготовити відкритий циліндричний резервуар об’ємом V. Вартість матеріалу, який іде на виготовлення дна, у m разів більша за вартість матеріалу для бічної частини. При яких розмірах резервуара вартість матеріалу буде найменшою?

Розв’язання. Нехай вартість матеріалу для бічної частини – одиниця, тоді вартість затрачених матеріалів на весь циліндр , де R і h – відповідно радіус і висота резервуара. Застосовуючи формулу об’єму резервуара , знаходимо . Цей вираз висоти підставимо у формулу для визначення вартості матеріалів . Знайдемо похідну по R і прирівняємо її до нуля:

, тому .

Легко помітити, що друга похідна , S має найменше значення для визначеного R. Далі знайдемо

.

Таким чином, вартість матеріалу для резервуару буде мінімальною, якщо висота циліндра у m разів перевищуватиме радіус його основи.

Лекція 16 Інтеграл. Інтегрування частинами

1. Невизначений інтеграл

Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на відрізку [а,b], якщо F(х) диференційована на цьому відрізку і стверджується рівність F'(х) = f(х) для усіх Існує множина первісних F(х) для однієї і той самої функції f(x) на даному відрізку. Усі вони можуть відрізнятись тільки сталою. Цю множину первісних називають невизначеним інтегралом від функції f(x) і записується

2. Інтегрування частинами

Застосування формули і знаходження первісної

називається інтегруванням за частинами. До інтегрування за частинами відносяться випадки, коли підінтегральний вираз має вигляд:

1.

через и позначаємо Р_п(х), через dv позначаємо соs ах dх,

2.

через и позначаємо , , , , , , через dv позначаємо Р_п(х)dх.

При інтегруванні частинами, треба підінтегральний вираз розбити на два множника: и і dv. При цьому dv повинен бути таким, щоб інтегруванням легко було знайти v ( сталу інтегрування беремо за 0).

3. Формула Ньютона - Лейбніца

Визначений інтеграл можна обчислити за формулою Ньютона – Лейбніца

Формула показує, що значення інтеграла на відрізку [а,b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при верхній і нижній межах інтегрування.

Якщо функції и(х) і v(х) та їх похідні и'(х) і v'(х) неперервні на проміжку [а,b], то формула інтегрування за частинами для визначенного інтеграла має вигляд:

4. Знаходження інтегралів виду ;

Нагадаємо спочатку деякі формули, відомі з курсу математики

; (16.1)

; (16.2)

; (16.3)

; (16.4)

; (16.5)

Приклади. Обчислити інтеграли.

1. .

Розв’язання. Використовуємо формулу (16.2):

.

Відповідь: .

2. .

Лекція 17 Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні диференціальні рівняння першого порядку

1 Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь

Приклад 1. З деякої висоти кинули тіло, маса якого . Треба встановити, за яким законом буде змінюватися швидкість падіння цього тіла, якщо на нього крім сили тяжіння, діє сила опору повітря, пропорційна швидкості (з коефіцієнтом пропорціональності ). Тобто треба знайти .

Розв’язування: за другим законом Ньютона

Рисунок 17.1

де є прискорення тіла, сила, яка діє на тіло в напрямку руху. Ця сила складається з двох сил: сили і сили опору повітря (рис.17.1).

Ми отримали рівняння, яке зв’язує невідому функцію та її похідну , тобто диференціальне рівняння відносно невідомої функції (це рівняння руху деяких парашутів). Розв’язати диференціальне рівняння – це значить знайти таку функцію , яка разом зі своєю похідною задовольняє даному диференціальному рівнянню.

Приклад 2. Знайти таку криву, щоб тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці чисельно дорівнював ординаті точки дотику (рис.17.2).

Рисунок 17.2

Приклад 3. Велике число популяції приведе до зменшення ресурсів, що знижує швидкість народження і підвищує швидкість вимирання. - фундаментальне рівняння в демографічній математичній теорії поширення чутків, хвороб та інших проблемах фізіології та соціології.

Нехай функція відображує кількісну сторону деякого явища. Дуже часто, коли розглядається це явище, ми не можемо встановити характер залежності від , але можемо встановити залежність між величинами та похідними тобто написати диференціальне рівняння. З отриманої залежності між змінними та похідними треба встановити безпосередню залежність від (знайти ), проінтегрувати диференціальне рівняння.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію та її похідні або диференціали. Символічно диференціальне рівняння записується

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить в диференціальне рівняння.

Наприклад рівняння - першого порядку

- другого порядку

- третього порядку

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням рівняння.

Розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння називається будь-яка функція , визначена на деякому інтервалі (а ; b), яка разом зі своїми похідними перетворює це рівняння у вірну тотожність. (При цьому похідні функції існують).

Приклад: Довести, що функція , яка визначена на усій числовій прямій, є розв’язком диференціального рівняння