1. Поняття числового ряду. Основні означення

Нехай задана числова послідовність .

Вираз ,називається числовим рядом, а числа - членами ряду; - загальний член ряду.

Сума S_n перших n членів ряду називається n-ю частковою сумою ряду: .

Числовий ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум збігається, тобто , де число S називається сумою ряду.

Якщо послідовність не має скінченої границі, то ряд називається розбіжним. Розбіжний ряд не має суми.

Приклад. Показати, що ряд збігається, і знайти його суму.

У цьому випадку Тоді Даний ряд збігається і його сума S=1.

Розглянемо ряд . При ряд збіжний і сума . При ряд розбіжний .

Розглянемо ряд . При ряд збіжний. При ряд розбіжний.

Основні властивості рядів

1 Якщо ряд збігається, то ряд теж збігається і його сума дорівнює

2 Якщо збігаються ряди і , то ряд теж збігається.

2. Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд збігається, то послідовність його членів прямує до нуля, тобто . Ця ознака є необхідною, але не є достатньою. Розглянемо гармонійний ряд, тобто ряд Хоча але ряд розбіжний. Якщо не існує або існує, але то ряд розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

тобто ряд розбіжний.

3. Достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів Будемо розглядати тільки знакододатні ряди, тобто ряди, в яких Його часткові суми утворюють зростаючу послідовність. З теорії границь відомо, що монотонно зростаюча й обмежена зверху послідовність має границю.

Ознаки порівняння

1. Нехай маємо ряди

(19.1)

причому (19.2)

Тоді із збіжності більшого ряду (19.2) випливає збіжність меншого ряду (19.1), а з розбіжності меншого ряду (19.1) випливає розбіжність більшого ряду (19.2).

2. Якщо то обидва ряди збіжні або розбіжні одночасно.

Приклад 1 Дослідити на збіжність ряд: .

Порівняємо з рядом , який є збіжним . . Згідно першої ознаки порівняння ряд - збіжний.

Приклад 2 Дослідити на збіжність ряд: .

Порівняємо з рядом -розбіжний. . Згідно порівняння ряд - розбіжний.

Ознака Даламбера

Розглянемо ряд з додатними членами. Нехай існує границя , тоді при ряд збігається, а при - розбігається. У випадку, коли ознака не діє і нічого певного про збіжність ряду сказати не можна.

Приклад 1: Дослідити на збіжність ряд . Маємо Тоді за ознакою Даламбера: даний ряд збіжний.

Приклад 2: Дослідити на збіжність ряд: . Маємо . Тоді ряд розбіжний.

Ознака Коші

Нехай для будь-якого існує границя , то при - ряд збігається, а при - розбігається. При радикальна ознака Коші не застосовується.

Приклад 1 Дослідити на збіжність ряд: Для цього ряду ряд збігається.

Приклад 2 Дослідити на збіжність ряд: . Маємо для цього ряду ряд розбігається.