2.8. Условия равновесия пространственной системы сил
Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю главный вектор и главный момент системы относительно любого центра O:
;
.
В аналитической форме это означает, что должны быть равны нулю суммы проекций сил на три оси декартовой прямоугольной системы координат и суммы моментов сил относительно трех осей координат:
;
;
;
;
;
. (2.3)
2.9. Задача с1 для расчетно-графических заданий
Жесткая рама (рис. С1.0-С1.9) закреплена неподвижно на двух опорах А и В. Опора А – неподвижный цилиндрический шарнир. Опора В – или подвижный шарнир (рис. С1.0 - С1.2, С1.5, С1.8), или невесомый стержень BО, который крепится к раме и к неподвижному основанию О шарнирами (рис. С1.3, С1.4, С1.6, С1.7, С1.9)
На раму действует следующая внешняя нагрузка: сосредоточенные силы F1 = 10 кН, F2 = 20 кН, F3 = 30 кН, F4 = 40 кН; пара сил с моментом M (направление показано на рисунке) и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q (участок приложения показан на рисунке). Величины момента пары сил и интенсивности распределенной нагрузки, точки приложения и направления сосредоточенных сил, параметр а указаны в табл. С1 (например, в условии 1 вектор силы F1 направлен под углом 10° к горизонтальной оси и приложен в точке K рамы).
Определить реакции опор в точках A и B, пренебрегая собственным весом рамы.
Указания. С1 – задача на составление уравнений равновесия (2.1), которые выражают необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил.
Прежде чем приступить к составлению уравнений равновесия предварительно необходимо выполнить расчетную схему задачи. На схеме требуется:
- равномерно распределенную нагрузку заменить одной равнодействующей силой;
- освободить раму от наложенных на нее связей, заменив их силами реакций;
- выбрать направления осей x, y для проецирования на них векторов сил и моментную точку О.
В качестве моментной рекомендуется выбирать точку, в которой пересекаются линии действия двух реакций. В этом случае уравнение моментов будет содержать лишь одну неизвестную реакцию.
При вычислении момента силы Fi (i = 1, 2, …4) ее удобно разложить на составляющие Fi', Fi'', для каждой из которых плечо легко может быть найдено из схемы, а затем воспользоваться теоремой Вариньона (о моменте равнодействующей) [1, c.40]:
.
Таблица С1
Номер условия |
a, м |
M, кН·м |
q, кН/м |
|
Номер условия |
a, м |
M, кН·м |
q, кН/м |
0 |
0,4 |
5 |
5 |
|
5 |
0,4 |
2 |
50 |
1 |
0,6 |
4 |
10 |
|
6 |
0,6 |
4 |
40 |
2 |
0,8 |
3 |
15 |
|
7 |
0,8 |
6 |
30 |
3 |
1,0 |
2 |
20 |
|
8 |
1,0 |
8 |
20 |
4 |
1,2 |
1 |
25 |
|
9 |
1,2 |
10 |
10 |
Таблица С1 (окончание)
Сила |
|
|
|
|
||||
Номер условия |
Точка прилож. |
1, град |
Точка прилож. |
2, град |
Точка прилож. |
3, град |
Точка прилож. |
4, град |
0 |
– |
– |
D |
80 |
– |
– |
H |
55 |
1 |
K |
10 |
– |
– |
E |
40 |
– |
– |
2 |
– |
– |
H |
75 |
– |
– |
E |
50 |
3 |
D |
15 |
– |
– |
K |
45 |
– |
– |
4 |
– |
– |
K |
70 |
– |
– |
D |
45 |
5 |
H |
20 |
– |
– |
E |
50 |
– |
– |
6 |
– |
– |
E |
65 |
– |
– |
K |
40 |
7 |
D |
25 |
– |
– |
H |
55 |
– |
– |
8 |
– |
– |
H |
60 |
– |
– |
D |
30 |
9 |
E |
30 |
– |
– |
D |
60 |
– |
– |
