3. Локальные закономерности структур фазовых диаграмм

Фазовое равновесие жидкость-пар многокомпонентных систем можно рассматривать в диаграммах, отражающих зависимости скалярных свойств от вектора состава, и в диаграммах, отражающих закономерности векторного поля нод жидкость-пар.

Рассмотрим два указанных вида диаграмм и процессы, соответствующие им.

3.1. Процессы, протекающие в поле градиента скалярного свойства

Рассмотрим процесс, в котором осуществляется движение ортогонально линии (многообразию) уровня. Многообразия уровня (изотермо-изобары) образуют скалярное поле температур (давлений), которое характеризуется вектором градиента. В указанном процессе в каждой точке траектории движения градиент скалярного свойства будет касателен к ней.

В градиентном выражении все точки поля делятся на простые и особые. В простых точках градиент имеет определенное направление и модуль; в особых точках – модуль вектора градиента равен нулю, а направление его неопределенно. Наибольшая информация о свойствах полей сосредоточена в особых точках.

Для исследования поведения системы в окрестности особой точки (локальные закономерности) необходимо создать математическую модель процесса, в котором в каждый момент времени изменяется состав жидкой фазы dХ <dx₁, dx₂, ... dx_n>, и каждая мгновенная скорость выражается градиентом скалярного свойства grad</x₁, /x₂, /x₃ ... /x_n>.

Векторы dX и grad коллинеарны друг другу, следовательно, их координаты пропорциональны, что выражается уравнением:

. (3.1)

Здесь dx_i – бесконечно малая величина, /x_i – конечная величина, их отношение есть бесконечно малая величина dt (условно мера времени).

Создадим из (3.1) систему нелинейных дифференциальных уравнений:

, (3.2)

которую представим в векторной форме:

(3.3)

В особых точках градиент равен нулю, следовательно , т.е. особые точки – это стационарные точки относительного покоя, в которых прекращается движение. Все особенности поведения траектории определяются ее ходом в окрестности особой точки, т.е. определяются типом особой точки.

Необходимо выявить, какие типы особых точек реализует система нелинейных автономных дифференциальных уравнений (3.2).

Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений разработана слабо в отличие от линейных уравнений. Известны математические методы линеаризации – замены нелинейных дифференциальных уравнений линейными. Операция линеаризации (получение системы первого приближения) предполагает переход к системе координат, начало которой перенесено в особую точку; разложение функции в ряд Тейлора и ограничение первыми членами ряда.

Система линейных дифференциальных уравнений, являющихся линейным приближением системы (3.2) в окрестности особой точки, имеет вид:

, (3.4)

где – координаты новой системы;

- матрица вторых производных свойства по составу.

(3.5)

Система (3.3) развернута на векторном поле градиента и базируется на преобразовании этого поля. Наиболее простую форму уравнения (3.3) принимают тогда, когда координатные оси совпадают с собственными векторами пространства (собственные векторы при преобразовании пространства не меняют своего направления, но могут изменить свой модуль).

При этом справедливо

(3.6)

Разрешая систему уравнений (3.6) относительно , получим n-1 корней. Если  вещественны, реализуются особые точки типа узел и седло; если  - комплексное число, то реализуется особая точка типа фокус, если  - мнимое число, реализуется центр.

При определенных условиях свойства решений систем (3.3) и (3.4) в окрестности особой точки оказываются одинаковыми. Указанные условия будут выполнены, если характеристическое уравнение (3.6) имеет только вещественные характеристические корни ₁,₂,₃, …, _n-1, отличные от нуля.

Вещественность корней вытекает из симметричности матрицы (3.5) и в силу этого системы (3.4) и (3.3) реализует особые точки типа узел и седло.

Существует связь между знаками корней  и типом особой точки:

если все  одного знака, то реализуется узловая точка (в рассматриваемом процессе все положительные  отвечают неустойчивому узлу, все отрицательные  - устойчивому узлу); если  разного знака, то реализуется седловинная точка.