Екi айнымалы функциясының экстремумдары

аймағында кем дегенде екiншi ретке дейiнгi дербес туындылары бар функциясын қарастырайық. Аймақтан бiр бекiтiлген нүкте алайық, . Осы нүктенiң теңсiздiгi орындалатындай белгiлi бiр аймағы бар болса, онда нүктесi локальдық максимум нүктесi деп аталады. Ал сондай аймақта теңсiздiгi орындалар болса, онда - локальдық минимум болады. Максимум және минимум нүктелері локальдық экстремум нүктелері дейдi. Оларды табу үшiн функцияның дербес туындыларын нөлге теңеймiз:

.

Бұл теңдiктер локалдық экстремумның бар болуының қажеттi шарттары болып табылады. Жүйенің шешулерi функцияның стационар нүктелерi болады. Оларға ең болмаса бiр дербес туындысы жоқ болатын нүктелердi қоссақ, оларды сынақ нүктесi дейдi.

Қажеттi шарт орындалған жағдайда да, кейбiр сынақ нүктелерiнде функцияның локалдық экстремумдары болмауы мүмкiн. Экстремумның бар болуының жеткiлiктi шарты келесi теоремамен берiледi.

Теорема. Функцияның екiншi дербес туындылары , , болатындай функциясының сынақ нүктесi бар болса, онда:

1. егер болса, онда нүктесiнде экстремум бар болып және болғанда, , ал болғанда, болады;

2. егер болса, онда нүктесiнде локалдық экстремум жоқ.

болса, онда локалдық экстремум туралы ештеңе айта алмаймыз. Қосымша зерттеулер қажет.

Мысал 3. функциясының экстремумдарын табыңыз.

Шешуi: Мұнда .

Теңдеулер жүйесiн шешiп, функцияның стационар нүктелерiн анықтаймыз: , .

Берiлген фукцияның екiншi реттi дербес туындыларын табамыз:

.

нүктесiнде тең болады.

Бұдан , яғни .

болғандықтан нүктесiнде функцияның локалдық максимумы бар:

.

Ал, нүктесiнде болып, болады. Бұл жағдайда қосымша зерттеулер жасаймыз.

нүктесiнде функция мәнi тең. болғанда, , ал болғанда, . Сонымен нүктесiнiң аймағында функциясы терiс те, оң мәндер қабылдайды. Олай болса, нүктесiнде функция экстремумы жоқ.

Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерi

Тұйық аймағында үздiксiз функциясы, осы аймақтың кейбiр нүктелерiнде ең үлкен, ең кiшi мәндерiн қабылдайды делік. Мұны функцияның глобалдық экстремумдары деп атайды. Сонымен берiлген функция тұйық аймағында үздiксiз болса, онда осы аймақта (iшiнде немесе шекарасында)

болатын және нүктелерi табылады.

Функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу ережесi:

1. Берiлген функцияның дербес туындыларын тауып сынақ нүктелерiн анықтаймыз. Осы нүктелердегi функция мәндерiн табамыз;

2. Аймақ шекарасындағы нүктелердегi функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табамыз;

3. Бүкiл табылған функция мәндерiн салыстыра отырып, ең үлкен және ең кiшi мәндерiн таңдап алмыз.

Сабақтың мазмұны.

Студенттердiң өзiндiк жұмысы.

Екi айнымалылар функциясының дербес туындыларын, дербес дифференциалдарын және толық дифференциалын табу, Екi айнымалы функция экстремумын табу, Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу.

Оқытушы мен студенттердiң бiрлескен жұмысы.

Көп айнымалылар функциясының теориясы бойынша есептер шығару [6]. Дербес туындыларды, дербес және толық дифференциалдарды табу.

I. Функциялардың дербес туындыларын табу керек.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

II. Функциялардың толық дифференциалын табу керек.

1) 2) 3)

III. Функциялардық экстремумдарын табу керек.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Қорытынды бiлiм деңгейiн тексеру.

Студенттердiң өз бетiнше дайындалуға арналған сұрақтарға жауаптары мен көп айнымалы функциялар теориясына шығарылған есептердiң нәтижелерi бойынша сабақты талдау және қорытындылау.

Негiзгi әдебиеттер.

1. Саханов Н., Жаңбырбаев Б. Жоғары математика. Алматы, Қайнар 1993ж.

2. Морозов В.Ю. Основы высшей математики и статистики. Москва. Медицина. 2001г

3. Шипачев В.С. Высшая математика. Москва. “Высшая школа” 1989г.

4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Москва. “Высшая школа” 2000г.

5. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М., Наука, 2000г.

6. Баврин И.И. Высшая математика, М., ”Просвещение”, 2000г.

Қосымша әдебиеттер.

1. Ибрашев Х.И., Еркеғулов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп 1987ж.

Тақырыбы: Қос интеграл

Жұмыстың қажеттілігі (оқытудың мотивациясы):

Көп айнымалы функциялардың интегралдық есептеуі жоғары математиканың нақты физикалық мәні бар «Векторлы анализ – өріс теориясы» атты бөлімімен тығыз байланысты. Ол техникалық ғылымдар мен практикада кеңінен қолданылады.

Сабақ мақсаты.

Қос интегралдар ұғымын енгізу, олардың қарапайым қасиеттерімен таныстыру. Қос интегралды тікелей және қисық сызықты координаталар арқылы есептеуге үйрету. Қос интегралдардың қолданылуы.

- студент білуі тиіс:

1. Қос интегралдың анықтамасы.

2. Қос интегралдың қарапайым қасиеттері.

3. Геометриялық және физикалық қолданылуы.

-студент игеруі тиіс:

1. Тік бұрышты облыста қос интегралды есептеу.

2. Қисық сызықты облыста қос интегралды есептеу.

3. Қос интегралдар көмегімен аудан мен көлемді есептеу.

Сабаққа дайындалуға арналған сұрақтар:

- базистік білім бойынша:

Анықталған интеграл ұғымы. Анықталған интегралдың қасиеттері. Интегралдаудың негізгі әдістері. Интегралдар кестесі.

- сабақ тақырыбы бойынша:

1. Қос интегралдың анықтамасы.

2. Қос интегралдың негізгі қасиеттерін атаңыз.

3. Қос интегралды қайталанбалы интегралға келтіру формуласы.

4. Қос интегралды тік бұрышты облыста есептеу формуласы.

5. Қос интегралды қисық сызықты облыста есептеу формуласы.

6. Аудан мен көлем есептеуде қос интеграл қалай қолданылады?

Ақпаратты-дидактикалық блок:

Қос интеграл. Қос интегралдың негізгі қасиеттері. Қос интегралды тік бұрышты облыста есептеу. Қос интегралды қисық сызықты облыста есептеу. Қос интегралдың көмегімен аудан есептеу. Қос интегралдың көмегімен көлем есептеу.