Дәрежелік қатарлар

Анықтама: беріліп және -тәуелсіз айнымалы болса, (1)

түріндегі қатар дәрежелік қатар деп аталады.

тұрақты сандар қатардың коэффициенттері деп аталады.

-ке сандық мәндерді бере отырып, біз жинақталатын немесе жинақталмайтын қатарлар аламыз.

болғанда (1) қатар санына айналатын болғандықтан, кез келген дәрежелік қатардың ең болмағанда бір жинақталу нүктесі болады. Демек, дәрежелік қатардың әрқашан жинақталу облысы бар. -тің (1) қатар жинақталатындай мәндерінің жиынтығын, оның жинақталу облысы деп атайды

Дәрежелік қатардың дербес қосындысы -тен тәуелді функция екені көрініп тұр.Сонымен қатар, жинақталу облысында анықталған қатардың қосындысы айнымалысынан тәуелді функция. Сондықтан да, (немесе ) деп жазамыз.

Дәрежелік қатардың жинақталу интервалы.

Теорема (Абель теоремасы): 1) Егер дәрежелік қатар -тің мәнінде жинақталатын қатар болса, онда ол теңсіздігін қанағаттандыратын -тің барлық мәндерінде абсолют жинақты; 2) егер дәрежелік қатар -тің мәнінде жинақталмайтын болса, онда ол теңсіздігін қанағаттандыратын -тің барлық мәндерінде де жинақталмайды.

Теорема 1: Егер қатар -тің барлық мәндерінде жинақталатын қатар болмаса, онда ол қатар үшін оң, саны табылып, қатар -тің барлық мәндерінде абсолют жинақты, ал мәндерінде жинақсыз.

интервалы дәрежелік қатардың жинақталу интервалы деп аталады. саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.

үшін болуы мүмкін мына үш жағдайды қарастыралық:

1. Егер болса, (1) қатардың жалғыз ғана жинақталу нүктесі болады.

2. Егер ақырлы шама, яғни және болса, -тің теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген мәні үшін нүкте табылып, теңсіздігі орындалады.

Олай болса, Абельдің теоремасы бойынша теңсіздігі орындалатын барлық үшін(1)қатар абсолют жинақты.

3) Егер болғанда, қандай үлкен мәнін алсақ та, теңсіздігін қанағаттандыратын табылады.

Барлық дәрежелік қатардың өзінің жинақталу радиусы болады.

болғанда қатар жинақты да, жинақсыз да болуы мүмкін.

Сонымен (1) қатардың жинақталу облысы интервалы болып табылады, интервал ұштарында қатар жинақты немесе жинақсыз болуы туралы мәселе және мәндерін қатарға қойғанда шығатын сәйкес сандық қатарларды зерттеу арқылы шешіледі, егер бұл сан қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда олардың жинақталуы да абсолютті немесе абсолютсіз де болуы мүмкін. Дәрежелік қатардың жинақталу радиусын анықтау жолдарын көрсетеміз. Оған келесі теорема жауап береді.

Теорема 2: қатары берілсін. Егер ақырлы шегі бар болса, онда жинақталу радиусы болады.

Мысал 1: қатарын қарастырамыз. Мұндағы және .

Яғни .

Көргеніміздей, берілген қатар (-1; 1) интервалында жинақталады. Интервал ұштарында қатардың жинақталуын тексереміз, яғни нүктелерінде үшін гармоникалық қатар аламыз, ал үшін Лейбниц белгісі бойынша жинақталатын қатар аламыз. Осылайша берілген қатар [-1,1) жартылай интервалында жинақталады және оның сыртында жинақсыз.

Мысал 2: нүктелерінен басқа нүктелерде бұл қатар жинақсыз, өйткені жинақталу радиусы .

Мысал 3: жинақталу радиусы яғни, бұл берілген қатар барлық сандық түзуде абсолютті жинақты.

Студенттердің өзіндік жұмысы.

Қатардың радиусын және жинақталу интервалын табу керек. Интервал ұштарында жинақтылыққа зерттеу.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9. 10.

- оқытушы бірігіп жасайтын жұмыс.

Оқытушы мен студенттердің әрқайсысына тақырып бойынша сұрақ қоя отырып, олардың өзіндік жұмыстарын тексереді. Өзіндік жұмыстың нәтижелерін талқылап, студенттердің біліктілігіндегі кемшіліктерді анықтайды, оларды жоюға көмектеседі. қорытынды білім деңгейін тексеру.

Студенттердің өз бетінше дайындалуға арналған сұрақтарға жауаптары мен қатарларды жинақтылыққа зерттеуге шығарылған есептердің нәтижелері бойынша сабақты талдау және қорытындылау.

Негізгі әдебиеттер.

1. Қасымов Қ.А., Қасымов Е.А. Жоғары математика курсы (Математикалық анализ). Т.2. Алматы, ҚазҰУ, 2002 ж.

2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Т.2. Алматы, 1970

3. Саханов Н., Жаңбырбаев Б. Жоғары математика. Алматы, Қайнар 1993 ж.

4. Шипачев В.С. «Основы высшей математики». Москва «Высшая школа» 1989 ж.

5. Баврин. И.И. Курс высшей математики, М. «Просвещение» 1992.

Қосымша әдебиеттер.

1. А.Г.Мордкович, А.С.Солодовников. «Математический анализ». Москва. «Вербум-М». 2000г.

2. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович «Краткий курс высшей математики». Москва «Наука» 1989г.

18