Математическое описание физических процессов Этапы решения численным методом

Каждое из рассматриваемых здесь дифференциальных уравнений представляет собой закон сохранения какой-либо физической величины. Обычно зависимыми переменными в этих дифференциальных уравнениях являются удельные свойства, т.е. отнесенные к единице массы. Примерами являются массовая концентрация, скорость, удельная энтальпия.

Вопрос: какая величина не является удельным свойством, но которая часто используется?

Члены дифференциального уравнения такого типа выражают воздействие на единицу объема. Пусть поток некоторой переменной Ф.

Рассмотрим объем

- поток, втекающий через грань

- вытекающий поток

Разность между втекающим и вытекающим потоком:

Аналогично для двух других осей можем получить , . Замечая что - объем, получим чистое истечение на единицу объема

Такая интерпретация особенно полезна ввиду того, что, как будет видно ниже, построение численного метода будет выполняться на основе принципа баланса для контрольного объема. К единице объема относиться также член , который описывает скорость изменения соответствующего свойства в единице объема.

Уравнение сохранение химической компоненты

m_l – массовая концентрация. Тогда при наличии поля скорости u уравнение сохранения имеет вид:

,

Здесь — скорость изменения массы компоненты в единице объема; — конвективный поток компоненты, т.е. поток переносимый общим полем течения pu; — диффузионный поток, обусловленный чаще всего градиентом массовой концентрации m_l.

Дивергенция этих двух потоков (конвективного и диффузионного) составляет второй член дифференциального уравнения. Величина в правой части обозначает скорость образования компоненты в единице объема, обусловленного химической реакцией.

Заметим, что в зависимости от того, что происходит в действительности — образование компоненты или ее уничтожение, может быть положительной или отрицательной. Для нереагирующей компоненты .

Если для справедлив закон Фика, то можно записать

,

где — коэффициент диффузии. При подстановке получаем

,

Уравнение сохранения энергии

В наиболее общем виде это уравнение включает воздействия большого количества факторов. Так как нас интересует, скорее, форма, а не подробная запись членов уравнения, достаточно рассмотреть несколько частных случаев.

В случае стационарного течения с небольшой скоростью и пренебрежимо малой вязкой диссипацией уравнение энергии можно представить в виде

,

где h — удельная энтальпия; — коэффициент теплопроводности; T — температура; — объемная скорость выделения теплоты. Член описывает влияние переноса теплоты теплопроводностью внутри жидкости согласно закона Фурье.

Для идеальных газов, твердых тел и жидкостей можно записать

,

Здесь с — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Подставив это выражение в уравнение энергии, получим

Если с постоянна, то зависимость h от T упрощается до

h = сT

и уравнение энергии принимает следующий вид:

Подобным образом можно выбирать в качестве зависимой переменной энтальпию или температуру. Если считать скорость u=0 (твердое тело), то получим уравнение стационарной теплопроводности