Теплопроводность граней контрольного объема
В уравнении (5.2) коэффициент теплопроводности е был использован для обозначения на грани е контрольного объема, соответственно w — на грани w. Если коэффициент теплопроводности является функцией х, будем знать е только в узловых точках W, P, E и т.д. В этом случае необходимо каким-то образом определить коэффициент теплопроводности на грани контрольного объема, например определить е через значения коэффициентов теплопроводности в узловых точках.
Обсуждение, проведенное ниже, не имеет отношения к случаю постоянного коэффициента теплопроводности. Переменный коэффициент теплопроводности может быть результатом неоднородности материала (например, составные пластины).
Даже в однородном материале зависимость коэффициента теплопроводности от температуры может привести к его изменению, вызванному изменением температуры. В дифференциальном уравнении общего вида, записанном относительно Ф, коэффициент диффузии Г может изменяться аналогично коэффициенту теплопроводности .
Существенные изменения Г встречаются довольно часто, например, при турбулентном течении, где Г может играть роль коэффициента турбулентной вязкости или теплопроводности. Таким образом, сама постановка задачи для переменного или Г достаточно оправдана.
Наиболее простым способом определения коэффициента теплопроводности на грани контрольного объема является предположение о линейном изменении между точками Р и Е. Пусть
, (5.4)
где
— интерполяционный
коэффициент, равный отношению отрезков,
показанных на рисунке.
Если грань контрольного
объема расположить посередине между
узловыми точками, то
будет равно 0,5 и е
будет средним
арифметическим P
и E.
В дальнейшем покажем, что в некоторых случаях это простое приближение дает не совсем правильные выводы и не обеспечивает точной аппроксимации при резких изменениях коэффициента теплопроводности, что может иметь место в составных материалах. Имеется сравнительно простои способ, дающий лучшие результаты. Развивая этот способ, понимаем, что на самой грани контрольного объема е не существует локального значения коэффициента теплопроводности, которое нас интересует.
Основная цель данного рассмотрения — получение хорошего представления для теплового потока qe на грани контрольного объема:
, (5.5)
которое в сущности используется в дискретном аналоге. Соотношение, определяющее е, следует выбрать так, чтобы получить правильное значение qe.
Предположим, что контрольный объем, окружающий узловую точку Р, заполняет материал с постоянным коэффициентом теплопроводности P, а объем, окружающий точку Е, — материал с коэффициентом теплопроводности E. Для составной пластины с границей слоев, расположенной между точками Р и Е, для случая стационарной одномерной задачи (без источников теплоты) запишем
(5.6)
Объединяя уравнения (5.4) — (5.6), получаем
(5.7)
Когда грань е расположена
посередине между точками Р
и Е,
имеем
,
тогда
(5.7а)
Из уравнений (5.7) видно, что е представляет собой среднее гармоническое величин P и E, вместо среднего арифметического, которое дает уравнение (5.4) при .
Эффективность этой формулировки видна из следующих двух предельных случаев.
Пусть E → 0, тогда е → 0.
Это означает, что тепловой поток на грани контрольного объема становится равным нулю, что и следовало ожидать. Выражение, представляющее собой среднее арифметическое, в этом случае будет давать ненулевое значение теплового потока.
Пусть P >> E, тогда
.
Из этого результата следуют два вывода, один из которых очевиден. Уравнение показывает, что коэффициент теплопроводности поверхности раздела е совершенно не зависит от P. Это вполне понятно, так как высокопроводящая среда, окружающая точку Р, должна иметь пренебрежимо малое сопротивление по сравнению со средой вокруг точки Е. Второй вывод заключается в том, что е не равно E, а больше этого значения в 1/fe раз.
Рассмотрение этих двух предельных случаев показывает, что при использовании соотношения (5.7) можно аппроксимировать резкие изменения коэффициента теплопроводности, не применяя чрезмерно частой сетки.