Диссипация энергии турбулентности

Основываясь на сравнении размерностей физических величин, можно определить диссипацию как

,

т.е. или

Для градиентной и турбулентной диффузии можно ввести следующую аппроксимацию

где _k – коэффициент замыкания, по смыслу аналогичен числу Прандтля.

Собрав все вышеприведенные предположения получим уравнение КЭТ, пригодное для использования в дифференциальных моделях турбулентности

, (7.31)

где диссипация и турбулентная вязкость определяются как

  и   ,

где C_D и C_ - константы замыкания.

Очевидно, необходимо каким-то алгебраическим образом определить и масштаб l. Существует много различных версий подобных зависимостей.

Область применения однопараметрических моделей, построенных по описанной схеме, сходна с областью применения алгебраических МТ. Несмотря на попытку учесть предысторию потока, определение длины пути смешения полностью базируется на опытных данных, и соответствующая алгебраическая формула, как правило, неспособна отразить влияние предыстории потока на масштаб турбулентности. Это существенно сужает область применения МТ с конкретным набором констант замыкания.

Следует отметить однопараметрическую МТ Спаларта-Аллмараса, в которой уравнение решается сразу для турбулентной вязкости. Данная модель показывает очень хорошее совпадение с экспериментом для класса высокорейнольдсовых пристеночных течений и находит свое применение в авиакосмических отраслях.

Двухпараметрические мт

Двухпараметрические модели турбулентности образуются добавлением к системе основных уравнений газовой динамики двух независимых уравнений переноса для кинетической энергии турбулентности и какого-либо другого независимого параметра (масштаба, диссипации, частоты и т.д.). Таким образом, двухпараметрические модели оказываются самодостаточными.

Однако это свойство весьма обманчиво, т.к. при их построении использовался рад допущений, в некоторых случаях двухпараметрические модели будут давать неверный результат. Поэтому необходимо очень четко представлять эти допущения.

Поскольку уравнение КЭТ было рассмотрено выше, уделим основное внимание записи второго уравнения и их взаимной увязке.

Основные допущения двухпараметрических мт

Локальная изотропность

Это означает равенство пульсационных составляющих скорости u^’=v^’=w^’. Вполне корректно для мелких вихревых образований, например на высоких числах Рейнольдса, однако для крупных вихрей весьма спорно. Например, в отрывных течениях именно это допущение «ответственно» за некорректность расчетов.

Локальная равновесность

Предполагается, что генерация и диссипация турбулентности локально равны. Это допущение необходимо для расчета рейнольдсовых напряжений.

Кроме того, по гипотезе Буссинеска, пульсационные составляющие потока пропорциональны осредненным локальным величинам (см. (7.30)), т.е. турбулентная вязкость может быть определена методом анализа размерностей через осредненные величины. Например, в k- модели , в k- модели .

Данные допущения справедливы для довольно широкого класса инженерных задач, однако неверны для отрывных течений, течений вблизи искривленных поверхностей, течений, подверженных сильным градиентам давления и т.д.