Математична класифікація систем

В основу математичної класифікації систем покладено визначення системи множин і відображень. Стосовно структури множини Т системи розбиваються на два класи. Якщо Т збігається з множиною дійсних чисел R, то рівняння ( 3.1) і (3.2) визначають клас неперервних за часом систем. Якщо ж Т = {t_k : k = 0, ±1, ±2,..., і t_k-1 < t_k}, то система належить класові дискретних за часом систем. Останні найбільш широко використовуються в математичній економіці.

Якщо у випадку дискретних за часом систем визначити відображення σ як f(t_k,x,u) = σ(t_k+1;t_k,x,u), то відображення σ є загальним розв’язком різницевого рівняння

x(t_k+1) = f(t_k, x(t_k), u(t_k)),

що випливає з аксіом, які задовольняє σ . У такому випадку математичною формою представлення системи можуть бути рівняння (3.1) і (3.3). Оскільки ,: k = 0, ±1, ±2,..., то в загальному випадку дискретна математична модель має вигляд

(3.3)

Системи можна розбити ще на два класи - детерміновані і стохастичні. Модель детермінованих систем не містить випадкових величин. Якщо у рівняння (3.1), (3.2) або (3.3) входять величини, що мають ймовірнісний характер, то такі системи називають стохастичними.

Розглянемо детерміновані системи і проведемо їх класифікацію.

Система (3.3) називається кінцевим автоматом, якщо вона дискретна за часом і множини U, Y і X мають скінченне число елементів.

У теорії кінцевих автоматів множини U і Y називають вхідним і вихідним алфавітами.

Система (3.3) називається скінченновимірною, якщо X, Y і U є скінченновимірними лінійними просторами.

Далі будуть розглядатися тільки скінченновимірні системи.

Система (3.3) називається стаціонарною, якщо функції f і g не залежать від k. У цьому випадку дискретна модель системи задається рівняннями

x(k+1)= f(x(k), u(k)) , (3.4)

y(k) = g(x(k)). (3.5)

Система називається лінійною, якщо множини X, U, і Y є лінійними просторами, відображення f лінійне по х і и, відображення g лінійне по х.

У цьому випадку дискретна нестаціонарна стохастична лінійна математична модель має такий вигляд:

x^a(k+1)=A^a(k)x(k) + B^a(k)u^a(k)+ f^a(k), (3.6)

y^a(k) = C^a(k)x(k) + G^a(k), (3.7)

де f ^a(k),G^a(k) - відображення з Т в X і A^a(k), B^a(k) і C^a(k) -лінійні оператори.

Якщо в просторах X, U і Y вибрати базиси, то елементи x^а,u^а,y^а, f ^a і G^a будуть представлені n-вектором x , m-вектором и, l-вектором y, n-вектором f і l-вектором G, а оператори A^a(k), B^a(k) і C^a(k) – nn-матрицею A(k), nm-матрицею B(k) і ln-матрицею C(k).