Усталені і перехідні режими функціонування систем

В ивчення проблеми прогнозу поведінки реальних систем часто починається з аналізу того, як вони реагують на ті чи інші постійні значення вхідних факторів. У багатьох ситуаціях реакція системи є такою, що, починаючи з деякого моменту , який залежить від початкового стану системи, її значення дорівнює з деякою точністю постійному значенню , яке не залежить від початкового стану, а залежить лише від значень вхідного фактора.

у

t

Частина процесу , що відповідає часу , називається перехідною, а інша, для якої при , – усталеною. Так само можна говорити про усталену і перехідну частини процесу . Ця властивість системи визначається як стійкість. Тобто функціонування життєздатних систем передбачає наявність перехідного і усталеного режимів .

Розглядаючи систему в дискретні моменти часу, де , k = 0, ±1, ±2,..., як процес, який є предметом аналізу або прогнозу, можна так аналітично описати функціонування стійкої системи. Нехай задане мале число і нехай – таке число, що для . Назвемо перехідною ту частину процесу , яка відповідає , та усталеною ту, що відповідає . Для усталеної частини процесу вважаємо, що .

Завдання 3.2 Задана дискретна лінійна стаціонарна детермінована математична модель з простором станів

з матрицями , , .

Причому може набувати одного зі значень елементів масиву , а - одного зі значень . Вважаючи початковим стан системи

,

розрахувати перехідні частини процесів та та побудувати їх графіки при заданих значеннях скалярного входу:

1) ,

де .

2)

Тут К₁=0; К₂=N_в+2 К₃=40; , де - номер варіанта.

Зображуваність лінійних систем

Вихідними даними при визначенні будь-якої задачі, пов’язаної з дослідженням систем, є тільки значення входів до системи та її виходів.

Зв’язок між входом та виходом лінійної системи можна подати у вигляді:

. (3.9)

Позначимо - множину реакцій системи, що спостерігаються на виході системи, коли на її вхід нічого не подається, тобто . Тоді з (3.9) випливає, що , а (3.9) можна записати у вигляді

. (3.10)

Це співвідношення можна розглядати як модель лінійної системи.

Можна показати, що для будь-якої лінійної системи існують такі матриці , що модель подається у вигляді

.

На випадок, коли система стаціонарна, матриці не залежать від .

Передатною матрицею лінійної системи, де - комплексна змінна, називається перетворення Лапласа імпульсної перехідної матриці, тобто

.

Нехай на стаціонарну систему, що в початковий момент часу перебуває в стані спокою, подається вхід та - його перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа виходу , що відповідає цьому входу:

.

Таким чином , передатна матриця лінійної системи може розглядатися як модель зв’язку між її входами і виходами. Вона дозволяє передбачати реакцію системи, що перебуває в стані спокою. Якщо ж система не перебуває в стані спокою, то необхідно, щоб вона була повністю спостережуваною.