Зведення задачі синтезу до задачі керування в просторі станів

Сформульована раніше задача синтезу системи керування може бути зведена до задачі синтезу керувань у вигляді функції стану системи, яка називається законом керування.

Нехай - завдання. Назвемо базовими такий процес і таке керування , що при усіх виконується

, (6.4)

. (6.5)

Таким чином, на базовій траєкторії виконується завдання, і метою в задачі керування є синтез такого , що виконується вимога при .

Далі щоб уникнути громіздких викладок будемо розглядати випадок, коли матриці і не залежать від . Також будемо вважати, що система (6.2), (6.3) повністю спостережувана за виходом , тобто виконується умова .

Рівняння (6.4), (6.5) виконуються для й тоді і тільки тоді, коли виконана рівність

Перенісши доданки з невідомою функцією у ліву частину рівності (6.6), маємо

(6.7)

Будь-який розв’язок рівняння (6.7) визначить згідно з (4.29) розв’язок рівнянь (6.4), (6.5) як

(6.8)

Отже, нехай і відомі . Тоді метою керування стає умова при .

Позначимо

і . З'ясуємо, якими рівняннями описується поведінка процесу .

Віднімаючи обидві частини рівності (6.4) з (6.2) і перше рівняння в (6.5) з першого рівняння в (6.3), одержуємо

, (6.9)

. (6.10)

За визначенням

, .

Нехай

, . Тоді і тому

. (6.11)

Векторна величина при кожному відомому сприймається як інформаційні дані. Тому в термінах моделі (6.9), (6.11) вихідна задача формулюється в такий спосіб. Треба на основі інформації формувати так, щоб при згідно з рівнянням (6.9).

Нехай - розв’язок цієї задачі. Тоді керування визначається як .

Позначимо через систему, що описується рівняннями (6.2), (6.3), через - підсистему, у якій виробляється , і - підсистему для формування . Тоді структура системи керування має вигляд, показаний на рис. 6.1.

f

Pиcунок 6.1

Як приклад розглянемо систему другого порядку з одним входом. Тоді рівняння(6.7) для визначення має вигляд

. (6.12)

Якщо , то

(6.13)

У цьому випадку для вироблення керувань згідно з (6.13) необхідно задати в початковий момент, наприклад, , і мати інформацію про завдання на крок уперед. Якщо завдання повільно змінюється, то можна вважати . Інакше потрібен пристрій для прогнозування .

Інші труднощі можуть виникнути, якщо матриці і такі, що . Тоді система виявиться нестійкою, а із зростанням будуть необмежено зростати і система керування буде непрацездатною. У цьому випадку необхідні додаткові дослідження. Наприклад, якщо і , тоді можна спробувати знайти стійкий розв’язок рівняння (6.13) і використовувати його в процесі керування, не звертаючись до алгоритму (6.13).

Дійсно, знайдемо , що задовольняє рівняння (6.13). Маємо

звідки

Розглянемо тепер випадок, коли в (6.12) . Тоді одержуємо

.

У цьому випадку визначається однозначно, але при цьому потрібно прогнозування завдання на два кроки вперед і збурення на один крок уперед. Якщо ж вони постійні, то також постійне.

Повертаючись до задачі (6.9), (6.11), розв’язання її зведемо до розв’язання двох підзадач: на початку синтезуємо закон керування , де матриця така, що система асимптотично стійка. Це забезпечить виконання вимоги при , а потім синтезуємо алгоритм для одержання оцінок стану за вимірами , що забезпечить фізичну реалізованість вищезазначеного закону керування у вигляді .

Приклад. Для системи

обчислити базове керування для заданого сигналу . Показати відповідну схему системи керування.

Розв’язання. Базове керування знаходиться як будь-який розв’язок рівняння

, що являє собою для нашої задачі відповідну модель вхід-вихід. Порядок її =2. Величини, що в ній фігурують, визначаються як

.

Коефіцієнти - визначаються з характеристичного полінома матриці . Отже, Похідні поліноми матриці А:

З їх допомогою визначимо

Таким чином, базове керування знаходимо з рівняння

.

Якщо взяти то отримаємо у всі наступні моменти часу . Якщо ж припустити то матимемо для всіх наступних моментів часу .

Нехай базове керування , тоді керування системою матиме вигляд . Схема керування має вигляд

4 w(k) система

u(k)

4 y(k)