Синтез оптимального за часом лінійного закону керування
Метод модального
керування дозволяє синтезувати закон
керування, що переводить систему за
мінімальне число кроків з початкового
стану
в
.
Нехай
,
тобто
.
Тоді
і заміна
приводить систему(6.14) до еквівалентного
вигляду
(6.16)
Оскільки
, то для будь-якого
розв’язок
рівняння (6.16) задовольняє умову
.
Для майже всіх початкових
число
є найменшим числом кроків, за яке
може бути переведене в
,
тобто цей закон є оптимальним за часом
для цих точок.
Керування лінійною системою на скінченному інтервалі
Отже, синтезуємо
закон керування системою, що за мінімальну
кількість кроків на часовому інтервалі
переведе систему з початкового стану
в кінцевий стан
.
Маємо повністю спостережувану за виходом систему (6.14). Розглянемо різницеве рівняння даної математичної моделі:
.
(6.17)
Треба знайти
для
та
.
Розв’язком різницевого рівняння є згідно з (2.3)
.
(6.18)
Зауважимо, що для
будь-якої суми справедливо
,
якщо
.
З (6.17) при
маємо
.
Треба знайти
момент часу
такий, що стан системи
.
З розв’язку рівняння (6.18) маємо:
(6.19)
Це система лінійних
алгебраїчних рівнянь відносно
,
де вектор стовпець
.
Систему (6.19) можна записати в матричному вигляді:
,
(6.20)
де матриця
має
рядків та
стовпчиків.
Будемо вважати,
що в моделі (6.14) матриці мають такі
розміри:
.
Очевидно, що система
лінійних рівнянь (6.20) має єдиний розв’язок
за умови
для матриці
.
Умова повної
керованості системою визначається як
,
що і забезпечить існування одного
розв’язку системи (6.20).
Зробимо заміну
,
тоді (6.20) набуде вигляду
.
(6.21)
Звідси
.
А невідомий вектор
При
маємо
.
Якщо ж
.
Цей вектор оптимізує функціонал
.
Одночасно маємо
оптимальне переведення системи зі стану
в стан
відповідно до моделі. Вважаємо, що
скаляр, тоді
.
Розглянемо
вектори-рядки
матриці, оберненої до
,
такі, що
.
За визначенням
.
Звідси
тобто
Оскільки
,
то, помноживши цю рівність зліва на
,
отримаємо
.
Керування системою
повинно відбуватися за законом
.
Стверджується, що
керування
переводить будь-який початковий стан
в стан
за
кроків.
Має місце співвідношення
,
де
;
,
-
характеристичний
і похідні поліноми матриці
.
Розглянемо довільний
початковий стан
.
З нього система переходить в стан
.
Використаємо закон
керування
,
за яким
.
При
з (6.15) визначимо стан
.
Аналогічно
Використали теорему Гамільтона-Келлі, за якою
.
Аналогічно можна показати, що
.
Метод модального керування дозволяє синтезувати закон керування, який переводить систему за мінімальну кількість кроків із початкового стану в стан .
Приклад.
Синтезувати модальний закон керування,
що переводить систему
де
, 
,
із початкового стану
в стан
за мінімальну кількість кроків.
Розв’язання.
Нехай, оскільки
,
.
,
,
.
Оберемо початковим
станом
.
Покажемо, що за побудованим керуванням
за два кроки система прийде до стану
.
Дійсно,
,
що і треба було довести.