17.3. Преобразования Лоренца

В подразделе 3.10 были получены формулы (3.59), называемые преобразованиями Галилея и связывающие между собой координаты и время события в двух системах отсчета -"неподвижной" системе и системе , движущейся со скоростью . Эти преобразования были получены в предположении абсолютности времени и длины. Наша ближайшая задача - получить связи между координатами и временем события в разных ИСО, не делая предположений об абсолютности времени или длины, а основываясь на принципе относительности Эйнштейна.

Пусть в системе некоторое событие имеет координаты , , и произошло в момент времени . В системе это событие характеризуется координатами , , и временем . Поскольку системы и не перемещаются друг относительно друга вдоль осей и , то координаты события по этим осям одинаковы в обеих системах отсчета,

. (17.8)

В силу аддитивности (линейности) времени и координат, времена , и координаты , события в системах и должны быть связаны линейными соотношениями:

(17.9)

где , , , - некоторые коэффициенты. Поясним последнее утверждение на примере времени. Пусть , и - три последовательных события в данной СО, и промежутки времени между этими событиями равны , , . Аддитивность времени выражается в том, что

.

Удовлетворить условиям линейности времени и координат в системах и можно лишь в случае, если связи между , , , принять линейными, то есть имеющими вид (17.9).

Коэффициенты, входящие в (17.9), могут зависеть лишь от скорости движения системы относительно системы :

.

Очевидно, что при , когда системы и совпадают, соотношения (17.9) должны переходить в равенства , . Отсюда следует, что

. (17.10)

Подставим в (17.9) на место , , , координаты и время события , рассмотренного в предыдущем подразделе, а затем координаты и время события , см. формулы (17.4), (17.6), (17.7). Получим следующие четыре уравнения:

(17.11)

Складывая первое и второе уравнения, получим:

. (17.12)

Вычитая третье уравнение из четвертого, находим:

. (17.13)

Подставляя (17.13) в четвертое уравнение, получим:

. (17.14)

Подставляя (17.12) и (17.14) во второе уравнение, получим:

. (17.15)

Подставляя (17.15) в (17.13), находим:

. (17.16)

Таким образом, коэффициенты , , выражены через неизвестный пока коэффициент .

Снова обратимся к формулам (17.9). Из них можно выразить и через и . Рассматривая (17.9) как систему двух уравнений с двумя неизвестными и и решая её, получим:

(17.17)

где коэффициент равен:

. (17.18)

Подставляя в (17.18) соотношения (17.12), (17.15) и (17.16), находим:

. (17.19)

Обратим внимание на следующее обстоятельство: систему можно рассматривать как неподвижную, а систему как движущуюся со скоростью . Поэтому очевидно, что коэффициенты, входящие в (17.17), связаны с коэффициентами, входящими в (17.9), следующими соотношениями:

. (17.20)

Из 2-го равенства (17.11), делая в нем замену , , , получим:

.

Складывая это равенство с первым равенством (17.11), имеем

.

Учтем, что, согласно (17.12), (17.20) , . Получим:

.

Из последнего равенства следует, что , поэтому из (17.19) находим:

.

Учитывая условие (17.10) для , заключаем, что в последнем соотношении следует взять знак "плюс". Итак:

. (17.21)

Подставляя (17.21) в (17.12), (17.15), (17.16), получим:

. (17.22)

Из (17.22) с учетом (17.20) находим

. (17.23)

Подставляя (17.22), (17.23) в (17.9), (17.17), получим с учетом (17.8):

, (17.24)

(17.25)

Соотношения (17.25) называются преобразованиями Лоренца и связывают координаты и время события в системах и . Соотношения (17.24) выражают ту же связь и являются просто другой формой записи соотношений (17.25). Они называются обратными преобразованиями Лоренца.

Если скорость мала по сравнению со скоростью света, , то в (17.24), (17.25) можно пренебречь членами, содержащими множитель , и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (3.59).