17.6. Преобразование скорости

Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль осей и систем отсчета и . Сравним скорости её движения относительно обеих систем. Дифференцируя первое и последнее равенства (17.25), получим:

.

Поделив на и учитывая, что , где - проекция скорости частицы на ось , имеет:

.

Поделив числитель и знаменатель в правой части этого равенства на и учитывая, что , где - проекция скорости частицы на ось , получим:

. (17.30)

Если хотя бы одна из величин или мала по сравнению со скоростью света, то в знаменателе (17.30) можно пренебречь слагаемым по сравнению с единицей, и формула (17.30) перейдет в классическое правило сложения скоростей.

Аналогичным образом можно получить формулы для преобразования компонент скорости частицы по осям и .

Пример 17.4. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями и по отношению к ИСО . Найдем: а) скорость , с которой уменьшается расстояние между частицами в системе ; б) относительную скорость частиц .

За единицу времени частицы проходят в системе навстречу друг другу пути, численно равные и соответственно, следовательно расстояние между ними уменьшится на величину . Поэтому .

Свяжем с одной из частиц, например, с первой, систему отсчета . Считаем, что оси , систем , параллельны направлению движения частиц, причем первая частица движется в отрицательном направлении оси , а вторая - в положительном. Применим ко второй частице формулу (17.30), в которой следует положить: , . Получим:

,

где - скорость второй частицы в системе , то есть ее скорость по отношению к первой частице. Решая это уравнение относительно , получим:

.

Конечно, можно было связать систему со второй частицей и вычислить модуль скорости первой частицы относительно второй. Результат был бы тот же самый.

Задача 17.3. Два стержня одинаковой собственной длины движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно их общей оси с одной и той же скоростью относительно лабораторной системы отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?

Ответ: .

17.7. Четырехмерные векторы

Геометрическое пространство, в котором мы пребываем, трехмерно - каждая его точка в пространственной системе координат с осями , , характеризуется радиусом-вектором, имеющим три проекции , , на координатные оси. Примером двумерного пространства является плоскость - положение точки на плоскости задается двумя координатами. Примером одномерного пространства является ось - положение точки на ней задается одним числом.

Назовем координатами события совокупность четырех величин:

, (17.31)

где , , - пространственные координаты события, - его временная координата. Совокупность величин (17.31) можно рассматривать как компоненты (проекции) четырехмерного радиуса-вектора события в четырехмерном пространстве. Система координат в этом пространстве имеет четыре оси: по трем осям откладываются пространственные координаты, по четвертой - временная координата. Итак, каждому событию соответствует точка в четырехмерном пространстве. Четырехмерный радиус-вектор этой точки имеет компоненты .

Учитывая, что , преобразования Лоренца (17.25) можно переписать в виде:

(17.32)

где , .

В трехмерном или двумерном геометрическом пространстве можно выбрать разные системы координат. Одна и та же точка пространства имеет разные координаты в разных системах координат. В четырехмерном пространстве также можно выбрать разные системы координат. Каждой ИСО соответствует своя четырехмерная система координат в четырехмерном пространстве. Таким образом, преобразования Лоренца (17.32) можно рассматривать как преобразования компонент четырехмерного радиуса-вектора события при переходе от одной четырехмерной системы координат к другой в четырехмерном пространстве.

Рассматривавшимся нами ИСО и соответствуют в четырехмерном пространстве две разные четырехмерные системы координат. Начала этих систем координат совпадают, поскольку при имеем , как это следует из формул (17.32). Но о разных системах координат, имеющих общее начало, говорят как о повернутых друг относительно друга. Итак, ИСО и соответствуют в четырехмерном пространстве четырехмерные системы координат, "повернутые" относительно друг друга.

Обычный трехмерный радиус-вектор есть пространственная часть четырехмерного радиуса-вектора. Возникает догадка, что существуют и другие трехмерные векторы являющиеся пространственными частями некоторых четырехмерных векторов, имеющих четвертую компоненту - проекцию на ось времени.

При поворотах четырехмерной системы координат четырехмерные векторы должны преобразовываться по тем же правилам, что и четырехмерный радиус-вектор, то есть в соответствии с формулами (17.32). Следовательно, если есть четырехмерный вектор (символ принимает значение , , , ), то его компоненты в ИСО и связаны соотношениями:

(17.33)

Квадратом длины четырехмерного вектора назовем величину , определяемую соотношением:

. (17.34)

Используя преобразования (17.33), получим из (17.34):

,

где . Таким образом, квадрат длины четырехмерного вектора одинаков в разных инерциальных системах отсчета, являясь инвариантом. Кратко это записывается так:

. (17.35)

Из (17.32), (17.35) следует, в частности, что . Это равенство выражает одинаковость длины четырехмерного радиуса-вектора события в разных ИСО.

Рассмотрим два события, одно из которых произошло в момент времени в точке с координатами в системе , а другое - в момент в точке . Квадратом интервала между двумя событиями называется величина:

. (17.36)

Координаты и время этих событий в системе равны и . Соответственно, квадрат интервала между событиями в системе будет равен:

.

Используя соотношения (17.25), после элементарных преобразований получим:

. (17.37)

Из последнего равенства следует, что квадрат интервала между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, то есть является релятивистским инвариантом.

Не все трехмерные векторы, используемые в классической механике, являются компонентами четырехмерных векторов. Однако, используя компоненты любого трехмерного вектора, можно путем соответствующих преобразований простроить четырехмерный вектор.