6. Равноускоренное движение

Изучение движения точки с постоянным ускорением , одинаковым во всех точках пространства, имеет важное практическое значение, поскольку именно так движутся (при незначительном сопротивлении воздуха) свободно падающие тела у поверхности Земли. Для Земли , вектор направлен вертикально вниз.

Учитывая определение ускорения (3.31), имеем

. (3.37)

Интегрируя, получаем:

.

Учитывая, что , где - скорость точки , и вынося постоянный вектор за знак интеграла, находим:

, (3.38)

где - постоянная интегрирования, имеющая смысл вектора начальной скорости, .

Интегрируя (3.38) с учетом того, что , получим:

, (3.39)

где - постоянная, имеющая смысл начального радиуса-вектора точки , . Зависимость вида (3.39) называют уравнением равноускоренного движения.

Выберем координатную ось таким образом, чтобы вектор был направлен в ее отрицательном направлении,

. (3.40)

Ось выберем так, чтобы вектор лежал в плоскости . Проектируя (3.38) на оси координат с учетом (3.40), получим

, (3.41)

где , - компоненты начальной скорости , которые можно выразить через длину вектора и угол между ним и осью :

.

Проектируя (3.39) на оси , , , получим:

, (3.42)

где , и - начальные координаты точки . Поскольку равенства (3.42) эквивалентны равенству (3.39), их также называют уравнениями равноускоренного движения.

Из (3.42) следует, что при том выборе осей, который был нами сделан, движение происходит в плоскости , параллельной плоскости . Обычно при решении задач удобно положить , тогда движение точки происходит в плоскости .

Пример 3.6. Самолет летит по прямой на высоте с постоянной скоростью , рис.3.5. В момент, когда самолет находится над позицией зенитного орудия, производится выстрел, начальная скорость снаряда . Под каким углом к горизонту следует произвести выстрел, чтобы снаряд попал в самолет? В какой момент времени это произойдет?

Выберем плоскость совпадающей с плоскостью, в которой лежат прямая и точка выстрела, причем ось направлена вертикально вверх. Время будем отсчитывать от момента выстрела. Координаты самолета как функции времени имеют вид

.

Координаты снаряда после выстрела, согласно (3.42), зависят от времени следующим образом:

.

Решая поставленную задачу встречи самолета и снаряда, потребуем совпадения их одноименных координат, положив , . Получим:

, (3.43)

. (3.44)

Из (3.43) находится угол , а из (3.44) время встречи , имеющее два возможных значения и :

. (3.45)

. (3.46)

Стоящее под корнем выражение должно быть неотрицательно. С учетом (3.45) получаем следующее условие разрешимости задачи встречи:

,

смысл которого в том, что начальная скорость снаряда должна быть достаточно велика, иначе он "не догонит" самолет.

Рис. 3.5.

Из (3.46) следует, что формально встреча снаряда с самолетом произойдет дважды, в момент и в момент , что иллюстрирует рис. 3.5. В уравнения движения, использованные нами, не заложен тот факт, что после первой встречи снаряда с самолетом в момент вторая встреча не состоится.

Задача 3.6. Тело бросили с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) время движения ;

б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета ; при каком значении угла они будут равны друг другу;

в) уравнение траектории , где и - перемещения тела по вертикали и горизонтали соответственно.

Ответ: а) ; б) , , ; в) .