3.7. Ускорение при движении по окружности

Рис. 3.6.

Рассмотрим движение точки в плоскости по окружности радиуса , рис 3.6. Введем единичный вектор , , направленный из точки по касательной к окружности в положительном направлении отсчета угловой координаты . Проекции вектора на оси равны:

Скорость можно записать в виде

, (3.47)

где - линейная скорость точки , равная проекции вектора скорости на направление вектора .

Введем также единичный вектор , , направленный вдоль радиуса-вектора точки от центра окружности. Его проекции на оси , равны

.

С учетом выражений для проекций векторов и получим

.

Ускорение точки равно

,

,

где - угловая скорость точки . Учтем, что , , где - линейное ускорение точки , см. (3.23), (3.24). Получим:

. (3.48)

Введем вектор тангенциального ускорения точки , направленный по касательной к окружности

(3.49)

и вектор нормального ускорения, направленный вдоль нормали к центру окружности, называемый также центростремительным ускорением:

, (3.50)

Формулу (3.48) можно записать в виде

. (3.51)

Итак, вектор полного ускорения точки можно представить в виде суммы тангенциального и нормального ускорений.

Модуль вектора полного ускорения равен

. (3.52)

Если точка вращается равномерно, то есть , то тангенциальное ускорение равно нулю.

Пример 3.7. Точка движется по окружности радиуса так, что ее линейная скорость меняется по закону , где - постоянная. Вычислить угол между вектором скорости и вектором полного ускорения .

Имеем ; ; ; ;

Учитывая, что и , поскольку , получим

.

Задача 3.7. Угловая координата частицы, вращающейся по окружности радиуса , зависит от времени по закону . Найти нормальное , тангенциальное и полное ускорения частицы, и модули этих величин, а также зависимость от времени угла между вектором и касательной к окружности.

Ответ: , , , , .

8. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки при криволинейном движении

Как отмечалось в подразделе 3.4, при криволинейном движении точки ее можно в каждый момент времени считать движущейся по окружности радиуса , который равен радиусу кривизны траектории в месте нахождения точки в этот момент времени. В связи с этим вектор полного ускорения точки , как и в случае движения по окружности, можно представить в виде (3.51), то есть как сумму тангенциального ускорения , определяемого формулой (3.49), и нормального ускорения , определяемого формулой (3.50). При этом вектор направлен из точки по касательной к траектории, а вектор , нормальный к вектору , направлен к центру кривизны траектории из точки , рис. 3.3. Модуль полного ускорения точки определяется по формуле (3.52). В отличие от движения по окружности, при произвольном криволинейном движении радиус кривизны траектории различен в разных точках траектории.

Пример 3.8. Частица брошена под углом к горизонту с начальной скоростью . Вычислить радиус кривизны траектории частицы в верхней точке.

Воспользуемся формулами (3.41). В верхней точке траектории . Полное ускорение в точке , как и во всех других точках траектории, равно . Однако, в отличие от других точек, в точке вектор направлен нормально траектории, следовательно в этой точке . В соответствии с (3.50) имеем

.

Таким образом, в верхней точке траектории частица как бы движется по окружности радиуса , определяемого данной формулой.

Задача 3.8. Частица брошена под углом к горизонту со скоростью . Вычислить радиус кривизны траектории частицы в начальной точке.

Ответ: .