8.2. Инертная и гравитационная массы

Масса, которая входит во 2-й закон Ньютона, характеризует свойство разных тел по разному ускоряться под действием одной и той же силы. Эту массу называют инертной. Масса, которая входит в закон всемирного тяготения, характеризует способность тела притягивать другие тела. Эта масса называется гравитационной. Таким образом, обе эти массы описывают совершенно различные физические свойства тел, и нет никаких оснований априори (заранее) считать их равными. Тем не менее, как показали эксперименты, проведенные Этвешем, Дике и другими учеными, инертная и гравитационная массы тела равны с очень высокой степенью точности. До Эйнштейна факт равенства инертной и гравитационной масс рассматривался физиками как странное совпадение. Эйнштейн оценил важность этого факта, возвел его в закон - принцип эквивалентности гравитационной и инертной масс и положил в основу теории гравитации, именуемой общей теорией относительности (1916 г.). Ньютоновский закон всемирного тяготения является частным случаем общей теории относительности. Теория Эйнштейна имеет ряд убедительных опытных подтверждений.

3. Потенциальная энергия тяготения

Силы гравитации являются центральными и, следовательно, консервативными. Поэтому, если на систему и внутри нее действуют силы тяготения, ей можно приписать потенциальную энергию. В частности, потенциальную энергию гравитационного взаимодействия двух частиц с массами и , расстояние между которыми равно , согласно (6.33) можно записать в виде:

. (8.6)

Учитывая связь между силами и потенциальной энергией, а также приведенные в подразделе 8.1 результаты, относящиеся к силам притяжения между шарами, заключаем, что формула (8.6) применима к вычислению потенциальной энергии притяжения двух шаров со сферически симметричным распределением масс, а также к шару и материальной точке (частице). В первом случае на место следует подставить расстояние между центрами шаров, а во втором случае - расстояние от частицы до центра шара.

Пример 8.3. Тело малых размеров массы находится на высоте от поверхности Земли. Вычислим его потенциальную энергию гравитационного взаимодействия с Землей. Согласно (8.6) и с учетом (8.5) имеем:

. (8.7)

Если , то, используя приближенную формулу (2.15), согласно которой, , получим:

,

что с точностью до константы совпадает с полученным ранее выражением для потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести вблизи поверхности Земли.

Пример 8.4. С какой скоростью следует бросить тело с поверхности Земли вертикально вверх, чтобы высота подъема была равна ? Вращением Земли вокруг своей оси и сопротивлением воздуха пренебречь.

Применим закон сохранения энергии:

, (8.8)

где , - потенциальная и кинетическая энергии тела на поверхности Земли, , - на высоте . В высшей точке подъема скорость тела равна нулю, поэтому . Используя формулу (8.7), получим из (8.8):

Сокращая левую и правую части равенства на массу брошенного тела, находим:

. (8.9)

Пусть высота подъема мала, . Пренебрегая членом в знаменателе дроби (8.9), получим .

Задача 8.2. Два одинаковых шара радиусами и массами находятся на расстоянии друг от друга. Под действием силы притяжения шары начинают двигаться друг к другу. Какую скорость будет иметь каждый из шаров в момент их соударения?

Ответ: .

Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии и формулой (8.6).