8.6. Движение материальной точки в центральном гравитационном поле

Выше были рассмотрены частные случаи движения частицы в центральном гравитационном поле, а именно - движение по окружности вокруг силового центра и движение по прямой линии, на которой лежит силовой центр. Однако задача о движении частицы в центральном гравитационном поле решается и в общем случае путем интегрирования уравнений движения вида (4.11) с заданными начальными условиями, или же на основе законов сохранения энергии и момента импульса. Применение последнего приводит, в частности, к заключению, что частица движется в плоскости, в которой лежит силовой центр (см. подраздел 7.3, пример 7.5). Оказывается, что в зависимости от начальных условий, частица может двигаться по одному из трех видов траектории - гиперболе, параболе и эллипсу. В частности, при движении частицы по эллипсу силовой центр находится в одном из его фокусов, а движение частицы удовлетворяет известным из астрономии законам Кеплера. Задача о движении материальной точки в центральном гравитационном поле является одной из ключевых в небесной механике - науке, изучающей движение планет и других небесных тел. При описании движения планеты вокруг Солнца последнее играет роль силового центра.

Пример 8.7. Космическое тело А движется к Солнцу С, имея вдали от него скорость и прицельный параметр - плечо вектора относительно Солнца, рис. 8.3. Найти наименьшее расстояние на которое это тело приблизится к Солнцу.

Рис. 8.3

Обозначим через точку траектории, лежащую на минимальном расстоянии от Солнца, а скорость тела в этой точке обозначим через . В этой точке радиус-вектор имеет экстремальную длину , и его производная . Это означает, что радиальная компонента скорости тела равна нулю в точке , так что вектор нормален к отрезку . Таким образом, есть плечо вектора . Применяя формулу (7.5) и учитывая, что вектор импульса тела лежит в плоскости его траектории, заключаем, что абсолютная величина проекции момента импульса на ось, проходящую через точку и нормальную плоскости орбиты тела, равна произведению модуля импульса тела на плечо вектора импульса, то есть на плечо вектора скорости. Ввиду сохранения момента импульса в центральном поле относительно центра поля имеем:

,

. (8.14)

Применим также закон сохранения энергии:

где и - кинетическая и потенциальная энергии тела при бесконечном удалении от Солнца, и - при прохождении точки . Получим:

, (8.15)

где - масса тела, - масса Солнца. Подставляя (8.14) в (8.15), получим:

.

Решая это квадратное относительно величены уравнение и учитывая, что , получим:

.