Инверсия соответствия

Инверсия соответствия строится на основе понятия инверсии пары. Инверсия пары осуществляется перестановкой координат пары. Инверсией пары будет пара . Для инверсии введем обозначение: .

Инверсией соответствия называется соответствие , образованное инверсиями всех пар, принадлежащих . Очевидно, что при этом имеют место такие соотношения: , .

• На множествах и задано соответствие . Инверсное соответствие имеет вид

.

Композиция соответствий

Композиция соответствий строится на основании понятия композиции пар.

Пусть . Составим пары , . Композицией пар и называется пара . Обозначения для композиции: . Композицию пар и можно трактовать таким образом. Если элементу поставлен в соответствие элемент , а этому элементу в свою очередь поставлен в соответствие элемент , то это означает, что элементу соответствует элемент . Композицией пар вида и будет пустое множество, т.е. .

Определение. Композицией соответствий и называется соответствие , составленное из всех возможных композиций пар соответствий и .

• На множествах

, ,

заданы соответствия

,

Композицию этих соответствий составим на основании композиций пар

.

3. Свойства соответствий

Основными свойствами соответствий являются:

1. Функциональность;

2. Инъективность;

3. Всюду определенность;

4. Сюръективность;

5. Биективность.

1. Функциональность

Соответствие называется функциональным, если все его пары имеют различные первые координаты, или другими словами, каждому элементу такому, что , соответствует один и только один элемент , или каждый прообраз имеет только один образ. Соответствие из примера 1 не является функциональным, так как элементу x₁ соответствуют два образа: y₁ и y₂.

• Пример 2. На множествах и задано соответствие . Это соответствие функционально, так как все первые координаты различны. Ему соответствует граф, приведенный на рис. 4. Областью определения данного соответствия является множество , областью значений является множество .

2. Инъективность

Соответствие называется инъективным, если все его пары имеют различные вторые координаты. Или иначе, соответствие инъективно, если каждый элемент является образом только одного элемента или вообще не имеет прообраза. Соответствия из примеров 1 и 2 не являются инъективными, так как элементу y₁ из примера 1 соответствуют два прообраза: x₁ и x₂, а элементу y₂ из примера 2 соответствуют прообразы x₂ и x₄.

• 

  

  Пример 3. На множествах и задано соответствие . Это соответствие инъективно, так как все вторые координаты различны, но не функционально. Ему соответствует граф, приведенный на рис.5. Областью определения данного соответствия является множество , областью значений является множество .

Рис.4 Рис.5