Гомоморфизм
Пусть
и
-
частично упорядоченные (отношением
)
множества. Пусть между множествами
и
установлено функциональное, всюду
определенное соответствие (отображение)
,
т.е. задана всюду определенная функция
,
,
.
Гомоморфизмом
частично упорядоченных множеств
и
называется отображение
,
сохраняющее порядок, т.е. для любых
таких, что
должно выполняться условие
.
Пример. Между
множествами
и
,
частично упорядоченными отношением
-
«меньше или равно», задано отображение
.
Является ли
гомоморфизмом?
Отображение
сохраняет порядок. Действительно,
например для
имеем
.
Для всех возможных пар элементов
множества
также выполняется условие
.
Таким образом, отображение
является гомоморфизмом множеств
и
,
частично упорядоченных отношением
«меньше или равно».
В зависимости от свойств отображения рассматривают следующие гомоморфизмы:
мономорфизм, если - инъективное отображение
эпиморфизм, если - сюръективное отображение
изоморфизм, если - биективное отображение (т.е. - взаимно-однозначное отображение)
Частично упорядоченные множества и называются изоморфными, если между ними установлено взаимно-однозначное отображение (биективное отображение) .
В приведенном выше примере не является изоморфизмом ( - мономорфизм). Таким образом, множества и не изоморфны.