Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матрично- векторной форме.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

Введем обозначения:

; ; .

Т. к. столбцов у матрицы ровно столько сколько координат у вектор-столбца , то определено произведение

.

Теперь систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде одного равенства .

В случае, когда матрица систему линейных уравнений квадратная, причем обратимая, эту систему можно решить в матричной форме. Для это умножим слева обе части этого равенства на матрицу . Получаем

.

Данный способ особенно удобен для решения системы уравнений , когда матрица остается неизменной, а столбец свободных членов принимает различные числовые значения.

Пример: Решить матричным способом систему уравнений

; ; . .

. .

.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных).

Ранее мы рассматривали решение систем линейных алгебраических уравнений при помощи определителей (методом Крамера). Но, если число уравнений в системе больше трех, то пользоваться формулами Крамера затруднительно (большой объем вычислений). Более того, число уравнений в системе может не совпадать с числом неизвестных. Тогда рассмотренные ранее методы решения систем уравнений непригодны. Поэтому рассмотрим наиболее удобный метод нахождения решений систем – метод Гаусса.

В данном методе нам придется делать такие преобразования систем линейных уравнений:

1) умножать какое – либо уравнение системы на один и тот же числовой множитель;

2) вычитать или складывать уравнения системы.

Такие преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате этих преобразований получают новую систему, которая будет эквивалентна исходной. Может случиться, что после выполнения элементарных преобразований в нашей системе появятся уравнения ,все коэффициенты левой части которого равны нулю.

Если свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, т. е. является верным и поэтому отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной.

Если же свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение является неверным(не имеет решений), а значит вся система решений не имеет.

Системы, в которых в каждом последующем уравнении число неизвестных меньше на единицу называются треугольными.

Приведение матрицы системы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.

Последовательное нахождение переменных называется обратным ходом метода Гаусса.

Метод Гаусса применим к любой системе линейных алгебраических уравнений. Совместная система уравнений будет определенной (иметь единственное решение), если она приводится к треугольному виду и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), если приводиться к трапецеидальному виду. Это возможно, если число уравнений в системе меньше числа неизвестных, тогда система не может приводиться к треугольному виду, т. к. в процессе преобразований по методу Гаусса число уравнений системы может уменьшаться, но не может увеличиваться, следовательно, она приводиться к трапецеидальному виду. Рассмотрим метод Гаусса на примере.

Пример: Решить систему методом Гаусса.

Ответ: (1;-1;2)