Ранг матрицы. Критерий разрешимости линейной системы уравнений.

Рассмотрим матрицу .

К элементарным преобразованиям матрицы относят следующие преобразования:

1) обмен местами двух ее строк или столбцов;

2) умножение всех элементов строки или столбца на произвольное отличное от нуля число;

3) прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующей строки или столбца, предварительно умноженных на одно и то же число.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду:

.

Число -единиц. Стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения к виду и называется рангом матрицы .

Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями являются эквивалентными. У эквивалентных матриц одинаковые ранги, элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Пример: Найти ранг матрицы . Ранг данной матрицы равен двум.

Ранг матрицы можно найти иначе. Матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к следующему виду:

.

Тогда ранг матрицы , а значит и заданной матрицы совпадает с числом ее ненулевых диагональных элементов .

Пример: найти ранг матрицы

.

Число ненулевых строк последней матрицы является ее рангом. Т. е. .

Вернемся к системе уравнений. Выпишем из нее основную и расширенную матрицу:

;

основная расширенная

Теорема Кронекера –Капелли (критерий разрешимости линейной системы):

1) для того чтобы система уравнений была совместной (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т. е. .

а) если ранг основной и расширенной матрицы системы равны и совпадают с числом неизвестных, т. е. , то система имеет единственное решение;

б) если ранг основной и расширенной матрицы системы равны и меньше числа неизвестных, т. е. , то система имеет более одного решения.

2) Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система не имеет решений.

Пример: исследовать систему на совместность и решить ее если она совместна.

Векторная алгебра. N- мерные векторы.

Рассмотрим упорядоченную пару чисел в прямоугольной системе координат на плоскости. Она представляет собой некоторую точку плоскости и радиус-вектор .

Числа и называются координатами точки и одновременно радиус-вектора , где -начало вектора, -конец вектора. Вектора можно обозначать большими и малыми буквами латинского алфавита. Порядок чисел и нельзя путать.

Упорядоченная тройка чисел определяет в пространстве точку и радиус-вектор . Числа называются координатами точки и одновременно радиус-вектора .

Определение: Упорядоченный набор чисел будем называть - мерной точкой или -мерным вектором. Числа называются координатами вектора, число – размерностью вектора.

Точку с координатами будем обозначать , а соответствующий вектор . Координаты вектора можно записывать в столбец .

Геометрически вектор – это направленный отрезок прямой, который характеризуется длиной или модулем и направлением. Возьмем на плоскости в прямоугольной системе координат две точки и , соединим их прямолинейным отрезком, на котором укажем направление от точки к точке , получим вектор , где – начало, а - конец вектора.

Модуль или длину вектора будем обозначать . Длина (модуль) -мерного вектора вычисляется по формуле: .

Определение: Два вектора и равны между собой, если равны их соответствующие (одноименные) координаты: .

Определение: Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нуль-вектором, -мерный нуль-вектор обозначается : .

Определение: -мерный вектор, у которого -я координата равна единице, а все остальные нули , называктся -ым ортом или -ым единичным вектором, который будем обозначать: .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Сложение геометрических вектором осуществляется по двум правилам:

1. правило треугольника: 2. правило параллелограмма:

Пусть векторы заданы в координатах.

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов слагаемых, т. е. . Аналогично определяется разность двух векторов.

Определение: Произведением -мерного вектора на число называется вектор . Если , то вектор и сонаправлены (одинаково направлены), если , то вектор и противоположно направлены.

Операции сложения вектров и умножения вектора на число называются линейными операциями. Они удовлетворяют следующим свойствам:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

Определение: Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Обозначается скалярное произведение векторов и так: или ( , ). Следовательно: = cosφ, отсюда cosφ= .

Скалярным произведением двух векторов, заданных в координатной форме, называется число равное сумме произведений одноименных координат.

Пусть на плоскости OXY заданы векторы =(a₁, a₂) и =(b₁, b₂), их скалярное произведение =a₁b₁+a₂b₂.

Свойства скалярного произведения:

- (переместительный закон),

- (распределительный закон),

- (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю λ),

- если , то или один из векторов нулевой.

Угол φ между векторами =(x₁, x₂,…, x_n) и =(y₁, y₂,…, y_n) найдем по формуле:

.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов =(-1; 0; 7) и =(-3; 1; 5).

Решение. =-1(-3)+0∙1+7∙5=38.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов =(4; -2; 1; 0) и =(1; ; 5; 9).

Решение. =4∙1+(-2)∙ +1∙5+0∙9=8.

Пример 3. Найти угол φ между векторами =(0; 6; -2) и =(2; 2; -8).

Решение. Угол φ найдем используя формулу:

Определение: Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле

.

Определение: Деление отрезка в данном отношении вычисляется по формулам

.

Их этой формулы вытекают формулы нахождения середины отрезка:

.