Емпірична функція розподілу

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називається функція , яка визначає для кожного значення відносну частоту події , тобто

(4)

де – сумарна частота варіант, які менше від , – об’єм вибірки.

Інтегральна функція розподілу генеральної сукупності у математичній статистиці називається теоретичною функцією розподілу. Вона відрізняється від емпіричної функції розподілу тим, що визначає ймовірність події , а не її відносну частоту. Оскільки відносна частота при прямує до ймовірності цієї події, то значення функцій та мало відрізняються. Таким чином емпірична функція розподілу служить оцінкою теоретичної функції розподілу.

У випадку спостереження неперервної випадкової величини емпіричну функцію будують за інтервальним рядом розподілу вибірки. Оскільки при групуванні даних інформація про точні значення варіант губиться, емпіричну функцію розподілу будують наближено. Для цього за формулою (4) обчислюються значення в граничних точках інтервалів згрупованого ряду, після чого точки площини з координатами з’єднуються відрізками прямих. Згідно з властивостями емпіричної функції розподілу додатково вважається: Побудована таким чином наближена емпірична функція є неперервною.

При виконанні розрахунково-графічної роботи ми порівнюємо заданий емпіричний розподіл з теоретичними трьох видів: нормальним, показниковим та рівномірним. Для порівняння вигляду емпіричної функції розподілу з графіками інтегральних функцій теоретичних розподілів нагадаємо їх вигляд у табл.1.

Таблиця 1

Функція розподілу	Графік функції розподілу
Нормальний розподіл : ( , )
Показниковий розподіл : ( )
Рівномірний розподіл : ( )

Гістограма

У випадку, коли спостерігається неперервна ознака, то графічним зображенням відповідного статистичного розподілу служить гістограма.

Гістограмою частот називається східчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали варіант довжиною , а висоти дорівнюють (щільність частоти).

Гістограмою відносних частот називається східчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали варіант, а висоти дорівнюють (щільність відносної частоти).

З означень випливає, що площа гістограми частот дорівнює об’єму вибірки, а площа гістограми відносних частот – одиниці.

Схема побудови гістограми.

1. Знайти інтервал , що містить всі спостережені значення, тобто

2. За формулою Стерджеса (2) знайти кількість часткових інтервалів.

3. Обчислити довжину часткового інтервалу за формулою

. (5)

4. Розбити на часткових інтервалів довжини частот (додаючи до кінця попереднього інтервалу довжину ).

5. Знайти інтервальні частоти , тобто кількість значень ознаки, що потрапили в кожний частковий інтервал.

6. На кожному частковому інтервалі як на основі побудувати прямокутник висотою:

для гістограми частот; (6)

для гістограми відносних частот.

Зауваження. Якщо варіанта потрапляє на границю між інтервалами, то її включають лише до одного з них.

Вигляд гістограми відносних частот дає уявлення про щільність імовірностей випадкової величини, яку досліджують. Гістограма відносних частот – це наближений графік щільності ймовірностей випадкової величини, тобто наближений графік диференціальної функції її розподілу.

При виконанні розрахунково-графічної роботи ми порівнюємо заданий емпіричний розподіл з теоретичними трьох видів: нормальним, показниковим та рівномірним. Для порівняння вигляду гістограми з графіками щільностей відповідних розподілів нагадаємо їх вигляд у табл.2.