План виконання розрахунково-графічної роботи

1. За даними спостережень скласти варіаційний ряд, розташовуючи варіанти в порядку зростання.

2. Скласти інтервальний ряд та побудувати емпіричну функцію розподілу.

3. Побудувати гістограму та проаналізувати її вигляд.

4. Обчислити числові характеристики вибірки. За їх допомогою знайти точкові оцінки параметрів розподілу.

5. Перевірити гіпотезу про розподіл спостереженої ознаки за допомогою критерію Пірсона.

Приклад виконання розрахунково-графічної роботи

Завдання 1. Задано вибірку, що отримана в результаті спостереження ознаки . Провести повний статистичний аналіз даних та при рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності за критерієм згоди Пірсона.

5,50 7,52 6,59 7,40 6,91 3,30 5,56 5,09 6,49 0,88 9,82 4,24 2,79 9,02 8,59 6,70 4,50 4,12 6,81 4,19 4,88 5,23 7,41 5,07 6,48 6,06 2,07 4,62 0,83 9,82 3,75 3,57 4,11 7,43 7,03 9,75 1,85 3,94 6,69 5,69 6,08 8,90 5,04 4,27 8,60 1,51 5,87 4,65 3,59 4,90 6,35 4,47 4,35 6,06 4,39 3,03 5,72 4,93 1,16 5,41

Виконання.

1. Складаємо варіаційний ряд, розташував спостережені значення у порядку зростання:

0,83 0,88 1,16 1,51 1,85 2,07 2,79 3,03 3,30 3,57 3,59 3,75 3,94 4,11 4,12 4,19 4,24 4,27 4,35 4,39 4,47 4,50 4,62 4,65 4,88 4,90 4,93 5,04 5,07 5,09 5,23 5,41 5,50 5,56 5,69 5,72 5,87 6,06 6,06 6,08 6,35 6,48 6,49 6,59 6,69 6,70 6,81 6,91 7,03 7,40 7,41 7,43 7,52 8,59 8,60 8,90 9,02 9,75 9,82 9,82

Об’єм даної вибірки (загальна кількість значень) дорівнює . Частоти варіант 6,06 та 9,82 дорівнюють 2, усі інші варіанти мають частоту 1. Найменша варіанта дорівнює , найбільша − .

2. Будуємо інтервальний ряд розподілу. По-перше, обчислюємо розмах варіації за формулою (1):

.

За формулою Стерджеса (2) знаходимо кількість часткових інтервалів. Оскільки , то, округляючи до більшого цілого числа, отримаємо .

За формулою (3) обчислюємо довжину часткового інтервалу

43.

Тепер формуємо інтервали (додаємо до кінця попереднього інтервалу, починаючи з найменшої варіанти ) і обчислюємо кількість потрапивших до них спостережених значень − інтервальні частоти .

Для побудови емпіричної функції розподілу за формулою (4) знаходимо її значення в граничних точках інтервалів:

Усі одержані за інтервальним рядом розрахунки заносимо до таблиці.

№	інтервал	інтервальна частота,
1	(0,8300; 2,1143)	6	0	(0,8300; 0)
2	(2,1143; 3,3986)	3	0,1	(2,1143; 0,1)
3	(3,3986; 4,6829)	15	0,15	(3,3986; 0,15)
4	(4,6829; 5,9672)	13	0,4	(4,6829; 0,4)
5	(5,9672; 7,2515)	12	0,62	(5,9672; 0,62)
6	(7,2515; 8,5358)	4	0,82	(7,2515; 0,82)
7	(8,5358; 9,8200)	7	0,88	(8,5358; 0,88)

Побудуємо емпіричну функцію розподілу. Для цього з’єднаємо точки площини з координатами відрізками прямих (рис.1). Додатково вважаємо:

F*(x)

Рис.1. Графік емпіричної функції розподілу

Бачимо, що графік наближеної емпіричної функції розподілу схожий на графік інтегральної функції нормального розподілу (див. табл.1).

3. Побудуємо гістограми частот та відносних частот.

В якості інтервалу, що містить всі варіанти, візьмемо інтервал

=

( Розіб’ємо його на часткових інтервалів, довжина яких знаходиться за формулою (5):

.

Формуємо часткові інтервали, обчислюємо інтервальні частоти та висоти прямокутників за формулами (6). Результати заносимо до таблиці:

№	інтервал	інтервальна частота,
1	(0,81; 2,10)	6	4,65	0,08
2	(2,10; 3,39)	3	2,33	0,04
3	(3,39; 4,68)	15	11,65	0,19
4	(4,68; 5,97)	13	10,08	0,17
5	(5,97; 7,26)	12	9,32	0,16
6	(7,26; 8,55)	4	3,11	0,05
7	(8,55; 9,84)	7	5,43	0,09

На рис. 2 і 3 зображено гістограми частот і відносних частот, що побудовані за одержаними даними.

x

0,81

2,10

3,39

4,68

5,97

7,26

8,55

9,84

Рис.2. Гістограма частот

x

0,81

2,10

3,39

4,68

5,97

7,26

8,55

9,84

Рис.3. Гістограма відносних частот

Бачимо, що форма гістограми нагадує графік щільності нормального розподілу (див. табл.2).

4. Знаходимо числові характеристики варіаційного ряду за формулами (7)−(11).

Вибіркова середня:

(0,83+0,88+1,16+1,51+1,85+2,07+2,79+3,03+3,30+

+3,57+3,59+3,75+3,94+4,11+4,12+4,19+4,24+4,27+4,35+4,39+

+4,47+4,50+4,62+4,65+4,88+4,90+4,93+5,04+5,07+5,09+5,23+

+5,41+5,50+5,56+5,69+5,72+5,87+6,06+6,06+6,08+6,35+6,48+

+6,49+6,59+6,69+6,70+6,81+6,91+7,03+7,40+7,41+7,43+7,52+

+8,59+8,60+8,90+9,02+9,75+9,82+9,82) ≈5,3597.

Вибіркова дисперсія:

((0,83)²+(0,88)²+(1,16)²+(1,51)²+(1,85)²+

+(2,07)²+(2,79)²+(3,03)²+(3,30)²+(3,57)²+(3,59)²+(3,75) ²+(3,94)²+

+(4,11)²+(4,12)²+(4,19)²+(4,24)²+(4,27)²+(4,35)²+(4,39)²+(4,47)²+

+(4,50)²+(4,62)²+(4,65)²+(4,88)²+(4,90)²+(4,93)²+(5,04)²+(5,07)²+

+(5,09)²+(5,23)²+(5,41)²+(5,50)²+(5,56)²+(5,69)²+(5,72)²+(5,87)²+

+(6,06)²+(6,06)²+(6,08)²+(6,35)²+(6,48)²+(6,49)²+(6,59)²+(6,69)²+

+(6,70)²+(6,81)²+(6,91)²+(7,03)²+(7,40)²+(7,41)²+(7,43)²+(7,52)²+

+(8,59)²+(8,60)²+(8,90)²+(9,02)²+(9,75)²+(9,82)²+(9,82)²)−

−(5,3597)² ≈ 4,6134.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення: .

Виправлена вибіркова дисперсія:

.

Виправлене середнє квадратичне відхилення:

.

Оскільки вибіркова середня та виправлене середнє квадратичне відхилення є незміщеними оцінками математичного сподівання та середнього квадратичного відхилення, згідно з (15) беремо їх в якості точкових оцінок невідомих параметрів розподілу генеральної сукупності:

.

5. Перевіримо гіпотезу про нормальний розподіл спостереженої ознаки за допомогою критерію Пірсона.

По-перше, необхідно, щоб інтервальні частоти задовольняли умову . Для цього в нашому випадку потрібно об’єднати перший і другий інтервали, а також шостий і сьомий.

	Частковий інтервал	Емпіричні частоти	Імовірності попадання	Теоретичні частоти
1		9	0,1814	10,884	0,3261
2	(3,39; 4,68)	15	0,2629	15,774	0,038
3	(4,68; 5,97)	13	0,1660	9,96	0,9279
4	(5,97; 7,26)	12	0,2003	12,018	0,00003
5		11	0,1894	11,364	0,0117
		60	1	60	1,3037

Для кожного з п’яти інтервалів , одержаного розбиття обчислюємо:

− емпіричну частоту інтервалу;

− імовірность попадання в інтервал за формулою (16);

− теоретичну частоту за формулою (12);

− величину розбіжності частот.

Результати розрахунків заносимо до таблиці.

За формулою (13) отримали спостережуване значення критерію χ =1,3037.

Так як кількість інтервалів , а кількість невідомих параметрів розподілу , то за формулою (17) кількість степенів вільності дорівнює .

За даним рівнем значущості та кількістю степенів вільності з дод. 2 отримаємо χ =6,0.

Оскільки χ χ , то гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності приймається.

Завдання 2. Задано вибірку, що отримана в результаті спостереження ознаки . Провести повний статистичний аналіз даних та при рівні значущості перевірити гіпотезу про показниковий розподіл генеральної сукупності за критерієм згоди Пірсона.

0,39 0,01 0,39 0,66 0,40 0,02 0,32 0,80 0,30 0,05 0,01 0,23 0,07 0,53 0,48 0,11 0,05 0,29 0,17 1,17 0,23 0,18 0,39 0,26 0,06 0,79 0,23 0,03 0,95 0,53 0,27 0,39 0,11 0,48 0,05 0,07 0,06 0,14 0,02 0,14 0,32 0,10 0,61 0,18 0,25 0,18 0,18 0,07 0,46 0,79 0,02 0,76 0,43 0,06 0,73 0,23 0,80 0,39 0,34 0,60

Виконання.

1. Складаємо варіаційний ряд, розташував спостережені значення у порядку зростання:

0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06 0,06 0,06 0,07 0,07 0,07 0,10 0,11 0,11 0,14 0,14 0,17 0,18 0,18 0,18 0,18 0,23 0,23 0,23 0,23 0,25 0,26 0,27 0,29 0,30 0,32 0,32 0,34 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,40 0,43 0,46 0,48 0,48 0,53 0,53 0,60 0,61 0,66 0,73 0,76 0,79 0,79 0,80 0,80 0,95 1,17

Об’єм даної вибірки дорівнює . Найменша варіанта дорівнює , найбільша − .

2. Будуємо інтервальний ряд розподілу. По-перше, обчислюємо розмах варіації за формулою (1):

.

За формулою Стерджеса (2) знаходимо кількість часткових інтервалів. Оскільки , то, округляючи до більшого цілого числа, отримаємо .

За формулою (3) обчислюємо довжину часткового інтервалу

.

Тепер формуємо інтервали (додаємо до кінця попереднього інтервалу, починаючи з найменшої варіанти ) і обчислюємо кількість потрапивших до них спостережених значень − інтервальні частоти .

Для побудови емпіричної функції розподілу за формулою (4) знаходимо її значення в граничних точках інтервалів:

Усі одержані за інтервальним рядом розрахунки заносимо до таблиці.

№	інтервал	інтервальна частота,
1	(0,01; 0,176)	21	0	(0,01; 0)
2	(0,176; 0,342)	16	0,35	(0,176; 0,35)
3	(0,342; 0,508)	10	0,62	(0,342; 0,62)
4	(0,508; 0,674)	5	0,78	(0,508; 0,78)
5	(0,674; 0,839)	6	0,87	(0,674; 0,87)
6	(0,839; 1,004)	1	0,97	(0,839; 0,97)
7	(1,004; 1,17)	1	0,98	(1,004; 0,98)

Побудуємо емпіричну функцію розподілу. Для цього з’єднаємо точки площини з координатами відрізками прямих (рис.4). Додатково вважаємо:

F*(x)

Рис.4. Графік емпіричної функції розподілу

Бачимо, що графік наближеної емпіричної функції розподілу схожий на графік інтегральної функції показникового розподілу (див. табл.1).

3. Побудуємо гістограми частот та відносних частот.

В якості інтервалу, що містить всі варіанти, візьмемо інтервал = ( Розіб’ємо його на часткових інтервалів, довжина яких знаходиться за формулою (5): .

Формуємо часткові інтервали, обчислюємо інтервальні частоти та висоти прямокутників за формулами (6). Результати заносимо до таблиці:

№	інтервал	інтервальна частота,
1	(0,006; 0,173)	21	123,5	2,06
2	(0,173; 0,340)	16	94,1	1,57
3	(0,340; 0,507)	10	58,8	0,98
4	(0,507; 0,674)	5	29,4	0,49
5	(0,674; 0,841)	6	35,3	0,59
6	(0,841; 1,008)	1	5,9	0,1
7	(1,008; 1,175)	1	5,9	0,1

На рис. 5 і 6 зображено гістограми частот і відносних частот, що побудовані за одержаними даними.

Рис.5. Гістограма частот

Рис.6. Гістограма відносних частот

Бачимо, що форма гістограми нагадує графік щільності показникового розподілу (див. табл.2).

4. Знаходимо числові характеристики варіаційного ряду за формулами (7)−(11).

Вибіркова середня:

(0,01+0,01+0,02+0,02+0,02+0,03+0,05+0,05+

+0,05+0,06+0,06+0,06+0,07+0,07+0,07+0,10+0,11+0,11+

+0,14+0,14+0,17+0,18+0,18+0,18+0,18+0,23+0,23+0,23+

+0,23+0,25+0,26+0,27+0,29+0,30+0,32+0,32+0,34+0,39+

+0,39+0,39+0,39+0,39+0,40+0,43+0,46+0,48+0,48+0,53+

+0,53+0,60+0,61+0,66+0,73+0,76+0,79+0,79+0,80+0,80+

+0,95+1,17)≈ 0,322.

Вибіркова дисперсія:

((0,01)²+(0,01)²+(0,02)²+(0,02)²+

+(0,02)²+(0,03)²+(0,05)²+(0,05)²+(0,05)²+(0,06)²+(0,06)²+

+(0,06)²+(0,07)²+(0,07)²+(0,07)²+(0,10)²+(0,11)²+(0,11)²+

+(0,14)²+(0,14)²+(0,17)²+(0,18)²+(0,18)²+(0,18)²+(0,18)²+

+(0,23)²+(0,23)²+(0,23)²+(0,23)²+(0,25)²+(0,26)²+(0,27)²+

+(0,29)²+(0,30)²+(0,32)²+(0,32)²+(0,34)²+(0,39)²+(0,39)²+

+(0,39)²+(0,39)²+(0,39)²+(0,40)²+(0,43)²+(0,46)²+(0,48)²+

+(0,48)²+(0,53)²+(0,53)²+(0,60)²+(0,61)²+(0,66)²+(0,73)²+

+(0,76)²+(0,79)²+(0,79)²+(0,80)²+(0,80)²+(0,95)²+(1,17)²)−

− (0,322)² ≈ 0,102.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення: .

Виправлена вибіркова дисперсія:

.

Виправлене середнє квадратичне відхилення:

.

Оскільки вибіркова середня є незміщеною оцінкою математичного сподівання, то за формулою (18) знаходимо оцінку невідомого параметру розподілу генеральної сукупності:

.

5. Перевіримо гіпотезу про показниковий розподіл спостереженої ознаки за допомогою критерію Пірсона.

Для того, щоб інтервальні частоти задовольняли умову , необхідно об’єднати п’ятий, шостий і сьомий інтервали. Для кожного з п’яти інтервалів , обчислюємо: емпіричну частоту інтервалу; імовірность попадання в інтервал за формулою (19); теоретичну частоту за формулою (12). Результати розрахунків заносимо до таблиці.

	Частковий інтервал	Емпіричні частоти	Імовірності попадання	Теоретичні частоти
1		21	0,4155	24,93	0,6195
2	(0,173;0,340)	16	0,2364	14,184	0,2325
3	(0,340; 0,507)	10	0,1408	8,448	0,2851
4	(0,507; 0,674)	5	0,0839	5,034	0,0002
5		11	0,1234	7,404	1,7465
		60	1	60	2,8838

За формулою (13) отримали спостережуване значення критерію χ =2,8838.

Так як кількість інтервалів , а кількість невідомих параметрів розподілу , то за формулою (20) кількість степенів вільності дорівнює .

За даним рівнем значущості та кількістю степенів вільності з дод. 2 отримаємо χ =7,8.

Оскільки χ χ , то гіпотезу про показниковий розподіл генеральної сукупності приймаємо.

Завдання 3. Задано вибірку, що отримана в результаті спостереження ознаки . Провести повний статистичний аналіз даних та при рівні значущості перевірити гіпотезу про рівномірний розподіл генеральної сукупності за критерієм згоди Пірсона.

4,5 4,4 6,1 5,0 6,2 5,4 4,8 4,2 3,7 4,9 6,0 4,8 6,0 6,7 4,1 5,4 6,9 3,8 5,4 5,3 5,3 4,3 3,5 6,2 6,2 3,2 4,1 3,5 5,8 4,7 5,4 3,6 5,8 6,5 6,7 5,5 5,3 5,9 3,3 3,9 4,1 4,9 3,1 6,8 6,0 3,7 6,3 6,3 4,8 6,2 4,1 5,6 3,1 4,6 3,0 3,3 5,7 5,3 3,7 3,8

Виконання.

1. Складаємо варіаційний ряд, розташував спостережені значення у порядку зростання:

3,0 3,1 3,1 3,2 3,3 3,3 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,8 5,9 6,0 6,0 6,0 6,1 6,2 6,2 6,2 6,2 6,3 6,3 6,5 6,7 6,7 6,8 6,9

Об’єм даної вибірки дорівнює . Найменша варіанта дорівнює , найбільша − .

2. Будуємо інтервальний ряд розподілу. По-перше, обчислюємо розмах варіації за формулою (1):

.

За формулою Стерджеса (2) знаходимо кількість часткових інтервалів. Оскільки , то, округляючи до більшого цілого числа, отримаємо .

За формулою (3) обчислюємо довжину часткового інтервалу

.

Тепер формуємо інтервали (додаємо до кінця попереднього інтервалу, починаючи з найменшої варіанти ) і обчислюємо кількість потрапивших до них спостережених значень − інтервальні частоти .

Для побудови емпіричної функції розподілу за формулою (4) знаходимо її значення в граничних точках інтервалів:

Усі одержані за інтервальним рядом розрахунки заносимо до таблиці і будуємо емпіричну функцію розподілу. Для цього з’єднаємо точки площини з координатами відрізками прямих (рис.7). Додатково вважаємо:

№	інтервал	інтервальна частота,
1	(3,0; 3,557)	8	0	(3,0; 0)
2	(3,557; 4,114)	11	0,13	(3,557; 0,13)
3	(4,114; 4,671)	5	0,32	(4,114; 0,32)
4	(4,671; 5,228)	7	0,4	(4,671; 0,4)
5	(5,228; 5,785)	11	0,52	(5,228; 0,52)
6	(5,785; 6,342)	13	0,7	(5,785; 0,7)
7	(6,342; 6,9)	5	0,92	(6,342; 0,92)

F*(x)

Рис.7. Графік емпіричної функції розподілу

Бачимо, що графік наближеної емпіричної функції розподілу схожий на графік інтегральної функції рівномірного розподілу (див. табл.1).

3. Побудуємо гістограми частот та відносних частот.

В якості інтервалу, що містить всі варіанти, візьмемо інтервал

=

( Розіб’ємо його на часткових інтервалів, довжина яких знаходиться за формулою (5):

.

Формуємо часткові інтервали, обчислюємо інтервальні частоти та висоти прямокутників за формулами (6). Результати заносимо до таблиці:

№	інтервал	інтервальна частота,
1	(2,99; 3,55)	8	14,3	0,24
2	(3,55; 4,11)	11	19,6	0,33
3	(4,11; 4,67)	5	8,9	0,15
4	(4,67; 5,23)	7	12,5	0,21
5	(5,23; 5,79)	11	19,6	0,33
6	(5,79; 6,35)	13	23,2	0,39
7	(6,35; 6,91)	5	8,9	0,15

На рис. 8 і 9 зображено гістограми частот і відносних частот, що побудовані за одержаними даними. Бачимо, що форма гістограми нагадує графік щільності рівномірного розподілу (див. табл.2).

23,2

Рис. 8. Гістограма частот

Рис. 9. Гістограма відносних частот

4. Знаходимо числові характеристики варіаційного ряду за формулами (7)−(11).

Вибіркова середня:

(3,0+3,1∙2+3,2+3,3∙2+3,5∙2+3,6+3,7∙3+

+3,8∙2+3,9+4,1∙4+4,2+4,3+4,4+4,5+4,6+4,7+4,8∙3+4,9∙2+5,0+

+5,3∙4+5,4∙4+5,5+5,6+5,7+5,8∙2+5,9+6,0∙3+6,1+6,2∙4+

+6,3∙2+6,5+6,7∙2+6,8+6,9)≈ 4,945.

Вибіркова дисперсія:

((3,0)²+(3,1)² ∙2+(3,2)²+(3,3)² ∙2+

+(3,5)² ∙2+(3,6)²+(3,7)² ∙3+(3,8)² ∙2+(3,9)²+(4,1)² ∙4+(4,2)²+

+(4,3)²+(4,4)²+(4,5)²+(4,6)²+(4,7)²+(4,8)²∙3+(4,9)²∙2+(5,0)²+

+(5,3)²∙4+(5,4)²∙4+(5,5)²+(5,6)²+(5,7)²+(5,8)²∙2+(5,9)²+(6,0)²∙3+

+(6,1)²+(6,2)²∙4+(6,3)²∙2+(6,5)²+(6,7)²∙2+(6,8)²+(6,9)²)−

− (4,945)² ≈ 1,225.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення: .

Виправлена вибіркова дисперсія:

1,246.

Виправлене середнє квадратичне відхилення:

1,116.

Вибіркова середня та виправлене середнє квадратичне відхилення є незміщеними оцінками математичного сподівання та середнього квадратичного відхилення. Скориставшись формулами (21) знаходимо оцінки невідомих параметрів розподілу генеральної сукупності:

.

5. Перевіримо гіпотезу про рівномірний розподіл спостереженої випадкової величини за допомогою критерію Пірсона.

Всі інтервальні задовольняють умову , тому часткові інтервали залишаються без змін.

Для кожного з семи інтервалів , обчислюємо:

імовірность попадання в інтервал за формулою (22); теоретичну частоту за формулою (12); величину розбіжності частот. Результати розрахунків заносимо до таблиці.

	Частковий інтервал	Емпіричні частоти	Імовірності попадання	Теоретичні частоти
1		8	0,1392	8,352	0,0148
2	(3,55; 4,11)	11	0,1449	8,694	0,6116
3	(4,11; 4,67)	5	0,1449	8,694	1,5695
4	(4,67; 5,23)	7	0,1449	8,694	0,3301
5	(5,23; 5,79)	11	0,1449	8,694	0,6116
6	(5,79; 6,35)	13	0,1449	8,694	2,1327
7		5	0,1363	8,178	1,235
		60	1	60	6,5053

За формулою (13) отримали спостережуване значення критерію χ =6,5053.

Так як кількість інтервалів , а кількість невідомих параметрів розподілу , то за формулою (22) кількість степенів вільності дорівнює .

За даним рівнем значущості та кількістю степенів вільності з дод. 2 отримаємо χ =9,5.

Оскільки χ χ , то гіпотезу про рівномірний розподіл генеральної сукупності приймаємо.