Бернулли формуласы

Тәжірибенің екі ғана нәтижесі болсын делік. Мысалы, монета лақтыру, бұйымның жарамдылығын тексеру, электр тізбегінің ажырағанын бақылау және басқалары. Екі нәтиженің бірін А оқиғасы пайда болады деп, екіншісін - А оқиғасы пайда болмайды деп айтуға келіселік.

Тәжірибені бір-біріне тәуелсіз етіп n рет қайталап жүргізелік. Бұл жерде тәуелсіз тәжірибелерді олардың нәтижелері оқиға ретінде тәуелсіз болады деп түсініледі.

Бір тәжірибеден екінші тәжірибеге өткенде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және А оқиғасының пайда болмау ықтималдығы өзгермей қалады деп ұйғарамыз.

Міне осындай үш шарт орындалғанда қарастырылатын тәжірибені Бернулли есімімен атайды.

Мұндағы негізгі есептің қойылымы мынадай: n рет Бернулли тәжірибесін жүргізгенде А оқиғасының дәл k рет пайда болу ықтималдығы қандай?

Біз қазір де және бұдан былай да « n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының k рет пайда болу» ықтималдығын P(k) арқылы белгілейміз. Бұл ықтималдық мынадай формуламен есептеледі:

, (8)

мұндағы, n- барлық тәжірибелер саны, k-А оқиғасының пайда болу саны, , және .

8-мысал: Дақыл тұқымының шығымдылығы 90 пайыз болып бағаланған. Егілген 3 дәннің екеуінің шығым беру ықтималдығы қандай?

Шешуі: Дақыл не шығады, не шықпайды. Демек, дәннің шығымдылығы Бернулли схемасына бағынады. Сонда n=3, k=2. Бір дәннің шығымдылық ықтималдығын р=0,9 деп алу керек.Демек, q=1-p=0,1 . Ізделінді ықтималдық . Тиісті есептеулерді жүргізсек

.

Пуассонның жуықтап есептеу формуласы

Практикалық есептерде тәжірибе саны тым үлкен болып келетін жағдайлар жиі кездеседі. Мұндай жағдайларда ықтималдығын

Формуласы бойынша есептеу үшін жуықтау формулаларын іздестіру қажет.

Теорема 5. Егер және болса, ал саны аз да, көп те болмаса, онда

(9)

9-мысал: Кітаптың бір бетінде қате кету ықтималдығы 0,0025. 800 беттен тұратын кітапта 3 бетте қате кездесу ықтималдығы қанша?

Шешуі: Есептің шарты бойынша n=800 және р=0,0025. бұл шамалар Пуассон жуықтап есептеу шарттарын қанағаттандырады. Демек, болғандықтан

.

Кітаптың соңында шамасының мәнін есептеу үшін кесте берілген. Сондай-ақ

қосындысының да кестесі беріліп отыр. Мұны қалай пайдалануы жөнінде бір мысал келтірелік.

10-мысал: Лотереяның бір билетіне ұтыс шығу ықтималдығы 0,02. 100 лоторея билетіне шығатын ұтыстардың саны үштен кем болмау ықтималдығы қандай?

Шешуі: р=0,02 және n=100, ал . Билеттерге шығатын ұтыс саны 3, не 4, ..., не 100 болуы мүмкін. Олай болса, ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша ізделінді ықтималдық қосындысымен анықталады. Әрбір ықтималдығына Пуассонның жуықтап есептеу формуласын қолдануға болады.

Сөйтіп,

Бұл қосындыны m=3 және болғанда кесте бойынша тауып аламыз: .

7. Сабақтың мазмұны.

Студенттердің өзіндік жұмысы.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша, негізгі формулалары (Байес, Бернулли, Лаплас) мен теоремаларын қолданып, оқиғалардың ықтималдықтарын есептеу .

1. Белгілі бір аймақта көп жылдар бойы жүргізілген зерттеулер бойынша он жастағы 100000 азаматтың орта есеппен 82300 –і 40 жасқа дейін, ал 70 жасқа дейін – 38000 азамат өмір сүреді. Он жастағы және қырық жастағы азаматтар үшін 70 жасқа дейін өмір сүру ықтималдығын табыңыз.

2. Сауығу коэффициенті 98 % құрайтын аурумен 6 адам ауырады.

а) алтауының да сауығып кету;

ә) тек бес адамның ғана сауығу

ықтималдықтары қандай?

3. Студент бағдарлама бойынша 25 сұрақтың 20-сына дайын. Оқытушы берген үш сұрақты да студент білетінінің ықтималдығын табыңыз.

4. 1000 шыны колбаны тасымалдау кезінде 1 колбаның шағылып қалу ықтималдығы 0,002. 4 колбаның сыну ықтималдығы неге тең?

5. Емтихан тапсыру кезінде студент 4 қосымша сұраққа жауап береді. Әр сұраққа дұрыс жауап беру ықтималдығы р=0,25. Жауаптардың барлығы тәуелсіз оқиғалар екенін жорамалдай отырып, ең болмағанда екі сұраққа дұрыс жауап беру ықтималдығын табыңыз.

6. Дәрігерге медициналық тексеруден өтуге 10 адам келді. Олардың 3-уі ауру. Дәрігер екі адамнан қабылдайды. Кабинетке кірген

а) екі адамның да сау; ә) екі адамның да ауру; б) бір адам сау, екіншісі-ауру; в) ең болмағанда біреуі ауру

болып шығу ықтималдығын табыңыз.

7. Семьяда 4 бала бар. Қыз бала мен ұл баланың дүниеге келу ықтималдығы бірдей. Оның ішінде үшеуінің ұл болу ықтималдығы неге тең?

Ыºтималдыºты» классикалыº аныºтамасы бойынша, негiзгi формулалары (Байес, Бернулли, Лаплас) мен теоремаларын ºолданып, оºи¹аларды» ыºтималдыºтарын есептеу [5].

Оºытушы мен студенттердi» бiрлескен ж½мысы.

Оºытушы студенттердi» ¸рºайсысына таºырып бойынша с½раº ºоя отырып, оларды» ¼зiндiк ж½мыстарын тексередi. ´зiндiк ж½мысты» н¸тижелерiн талºылап, студенттердi» бiлiктiлiгiндегi кемшiлiктердi аныºтайды, оларды жою¹а к¼мектеседi.

²орытынды бiлiм де»гейiн тексеру.

´з бетiмен дайындалу¹а арнал¹ан с½раºтар¹а жауаптарды», кездейсоº оºи¹алар теориясы бойынша есептер шы¹ару н¸тижелерiнi» негiзiнде практикалыº сабаºты талдау ж¸не ºорытындылау.