Муавр-Лапластың шектік теоремалары

Егер әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу р ықтималдығы тұрақты және нөл мен бірден өзгеше болса, онда ықтималдығы n тәжірибе жүргізгенде А оқиғасы k рет пайда болады,

(n үлкен болған сайын нақты) жуық түрде функцияның мәні:

Мұндағы

Сонымен, n тәуелсіз тәжірибеде А оқиғасы k рет пайда болу ықтималдығы, жуық түрде мынаған тең:

где .

Мысал 3: Егер әрбір тәжірибеде оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,2 тең болса, онда Аоқиғасы 400 сынақта 80 рет пайда болу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Шарт бойынша п=400; k=80; р=0,2, q=0,8. Лапластың шектік теоремасын қолданып:

.

Есептің берілуі бойынша х – тің мәнін табамыз:

1 қосымша кесте [4] бойынша (0)=0,3989 табамыз. Ізделінді ықтималдық

.

Лапластың интегралдық теоремасы

п тәжірибе жүргізейік әрбір А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және р(0<p<1) тең болсын. А оқиғасы п рет тәжірибе жүргізгенде k₁ –ден кіші емес, және k₂ -ден үлкен емес болғанда (қысқаша айтқанда, «k₁ - ден k₂-ге дейін » ), ықтималдығын қалай есептеуге болады? Бұл сұраққа Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді.

Теорема: (Лапластың интегралдық теоремасы) Егер әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу р ықтималдығы тұрақты және нөл мен бірден өзгеше болса, онда ықтималдығы n тәжірибе жүргізгенде А оқиғасы k₁ - ден k₂-ге дейін пайда болады, жуық түрде анықталған интегралға тең:

(*)

мұндағы және .

немесе

- Лапластың интегралдық функциясы.

Мысал 4: Студенттің медициналық тексеруден өтпеу ықтималдығы р=0,2. Кездейсоқ кездестірген 400 студенттің ішінде 70-тен 100-ге дейінгі студенттердің тексеруден өтпеген болуының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: есептің шарты бойынша k₁=70; k₂=100; n=400; p=0,2; q=1-p=0,8.

Осыдан

Биологияда қолданылуы

Мендель заңы. Мендель зерттеу обьектісі үшін альтернативті белгілермен ажыратылатын, көптеген түрі бар ас бұршақты таңдап алды. Қандай да бір белгінің қарапайым ұрпақтан-ұрпаққа берілуі анықталған генге байланысты екендігі белгілі. Жыныс жасушаларында қандай да бір белгіге жауап беретін гендер жұп-жұбымен болады. Мысалы, бұршақтың жасушаларында пайда болатын ұрпақтың гүлдерінің түсіне жауап беретін гендер жұбы болады-қызыл немесе ақ. Бұл гендер екі жағдайда болуы мүмкін-доминатты (А)және рецессивті (а).

Сондықтан да гендер жұбы мынадай болуы мүмкін:

АА, Аа немесе аА, аа

Бұлар берілген особтың (биологиялық түрдің бөлінбейтін бөлшегі) генотипін (тұқым қуалаушылық негізін құрайтын гендердің бірлестігі)

АА-доминатты- гомозиготалы

Аа, аА-аралас-гетерозиготалы

аа – рецессивті

Яғни, қандай да белгінің тұқым қуалаушылығы особтардың генотипіне байланысты. Мысалы: бұршақ үшін гүлдердің қызыл түсі –доминатты белгіні, ал ақ-рецессивті белгіні білдіреді.

Тәжірибелерден Мендельдің 1-заңы белгілі: фенотипте (белгінің сырттай пайда болуы) доминатты және аралас генотиптердің особьтарында доминатты белгісі болады және тек рецессивті генотиптердің особьтарда рецессивті белгісі болады. Бұл заң бойынша бұршақ доминатты және аралас генотиптердің особьтары гүлдердің қызыл түсін береді, ал тек рецессивті генотиптердің особьтары гүлдерінің ақ түсі болады.

АА особьтардың генотип будандастыруынан кейін F₀ буынды гибридты аа генотипі пайда болады.

Бұл буын генде F₁-мен белгіленеді. Тек F₁ тек аа генотипінен басқа, буындағы басқа генотип. Бірдей жиі кездесетін 4 генотипінен: АА, аа, аА, аа, кездейсоқ буындасудан особь F₁ буынан F₂ буыны пайда болады.

Тәжірбиелерден Мендельдің 1-заңы белгілі: F₂ буынынан рецессивті фенотипте особьтың доминатты белгісі пайда болуының ықтималдығы 3/4, ал рецессивті болуының ықтималдығы 1/4.

Харди заңы. Айталық, популяцияда 3 генотип кездессін: АА, Аа, аа. Особь генотипінің бөліктері сәйкесінше u , 2v және w-ға тең болсын. Популяцияның құрылымы туралы қысқаша айтамыз және оны келесі түрде жазамыз:

АА Аа аа

u 2 v w (1)

Бұдан былай түсінеміз: егер популяция N особтан тұратын болса, онда генотипінде АА-да uN, аралас особь Аа-да 2 v N және аа рецессивті генотипте особь саны wN.

Сондықтан

uN+2vN+wN=N,

онда

u+2v+w=1. (2)

Популяциядағы А гендер санын санайық. Барлық доминатты генотип особтары А-ның 2uN генінен тұрады. (әрбір особьта А екі гені, барлық особьтар uN), аралас генотип особьтары А-ның 2vN (әрбір особьта А гені , барлық особьта 2vN) рецессивті генотипте А ген жоқ. Бұдан доминатты А генінде (1) популяция саны:

2uN+2vN=2N(u+v),

Немесе, қысқаша, 2 Np, мұнда

p=u+v (3)

р саны жай ықтималдық мағынасында, яғни Р(А), сәтіне қарай таңдалынған ген доминантының ықтималдығы. Шынында да, геннің доминанты 2Np және барлық ген 2N. (әрбір популяция особында екі ген). Бұдан,

(4)

(1) популяцияның барлық рецессивті гендер саны:

2 Nq,

мұнда

q=w+v (5)

мұндағы q саны ықтималдық мағынасында:

(6)

р және q ықтималдықтар мағынасынан және (3), (5) және (2) формуладан:

p+q=1 (7)

Бұдан байқайтынымыз (1) –дегі u, 2v және w-да жай ықтималдықтар мағынасында екенін.

(8)

(9)

(10)

Енді гүлдердің құрылымын қарастырайық. Гүлдердің құрылымы мынандай:

АА Аа аа

u ₁ 2 v₁ w₁ (11)

u ₁, 2 v₁ , и w₁ деп есептейміз. u ₁, 2 v₁ , и w₁ саны сәтіне қарай таңдалынған гүлдің сәйкес АА, Аа және аа генотиптері болуының ықтималдығы ((8), (9), (10) формулаларына сәйкес).

Олардың будандасуы тәуелсіз үлгімен жүргізіледі. u ₁-ді келесі оқиғаның ықтималдығы ретінде қарастырамыз: барлық А-ның екі гені сәтіне қарай және тәуелсіз үлгіде таңдалынған. Осылай алынған әрбір А генін р ықтималдығы деп, онда тәуелсіз оқиғаларды көбейту теоремасының күшімен бізде ықтималдық р²-ға тең болады.

u ₁= р² (12)

Сәйкесінше (6) формуланың көмегімен:

w₁ =q² (13)

Гүлдер популяциясындағы Аа гендер ықтималдығы екі мүмкіндіктен құралады:- А гені әкесінен, а гені шешесінен немесе А гені шешесінен, а әкесінен, сәйкесінше ықтималдық pq және qp бар.

Гүлдер популяциясындағы Аа генотипі 2pq-ға тең.

2 v₁=2 pq.

Бұдан

2 v₁= pq.

Гүлдерден келесі құрылым шығады:

АА Аа аа

р² 2 pq q² (15)

Ата-аналар үшін (3) және (5) формулалар сияқты, гүлдер үшін u ₁+ v₁ және w₁ + v₁ болса_, онда біз сондай p және q санын аламыз.

Шынында да, (12), (14), (13) және (7) формулаларына келесе отырып мынаны аламыз:

u ₁+ v₁ = p²+pq = p(p+q) = p

w ₁+ v₁ = q²+pq = q(q+p) = q

(15) гүлдер құрылымын осы қосындыларды пайдаланып есептесек, онда (15) популяцияның гүлдер құрылымы да осындай болады. Олай болса, (15) құрылым стационарлы және буынан буынға өткенде өзгермейді.

Бұл факт популяцияның стационарлы құрылымының екінші буынын құрайды, Мендельдің екінші заңының жалпы қағидасы болып табылады және Харди заңы деп аталады.

Практикада ауытқуы мүмкін, бірақ та үлкен популяция үшін Харди заңы орындалады.

Бұршақ особының қызыл болуының ықтималдығы 1-q² (қарама-қарсы оқиға сияқты) және қызыл және ақ особьтардың қатысансының саны (1-q²): q² тең.

Бірінші пунктегі бірінші жағдайда q=1/2, және біз 3:1 аламыз (ІІ Мендель заңы)