Тема 7. Выборочное наблюдение

Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенным в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод.

Под выборочным понимается метод стат. исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части, на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергаются сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (5-10% реже 15-25). При этом подлежащая изучению совокупность, из которой производится отбор части единиц называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность информации, уменьшает ошибки регистрации.

В проведении ряда исследований выборочный метод является единственным возможным, например, при контроле качества продукции, если проверка связана с уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов (определение сахаристости фруктов, клейковины печеного хлеба, установление носкости обуви, прочности тканей на разрыв и т.д.)

При соблюдении правил научной организации обследования выборочный метод дает достаточно точные результаты, поэтому его целесообразно применять и для проверки данных сплошного учета.

Особенность метода состоит в том, что все единицы совокупности имеют равную возможность попадания в выборку. Именно этот принцип не позволяет использовать в выборке только лучшие или худшие образцы, предупреждает появление ошибок репрезентативности.

Поскольку выборочная совокупность может в той или иной мере отличаться от генеральной, то возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей p , средняя величина изучаемого варьирующего признака –генеральной средней . В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частностью w, а среднюю величину в выборке выборочной средней _. Вычисленные характеристики выборочной доли и выборочной средней по своей природе являются величинами случайными. Они могут принимать различные значения в зависимости от того, какие конкретные единицы генеральной совокупности попадут в выборку. Это значит, что в каждом варианте отбора будет своя ошибка выборки. (для средней величины- ). При этом каждая величина ошибки имеют свою вероятность возникновения.

На практике можно утверждать, что лишь с определенной степенью вероятности отклонения не превысят величины , которая в статистике называется предельной ошибкой выборки. . При этом коэффициент кратности средней ошибки зависит от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки

_{Поэтому значение средних характеристик генеральной совокупности определяются с помощью интервального оценивания с определенной вероятностью:}

_{для генеральной доли ,}

_{для генеральной средней}

_{Для чего, сначала определяются выборочные средние, а затем средняя ошибка выборки и, предельная ошибка:}

- значение средней ошибки при повторном отборе, где - дисперсия выборки.

_{для доли:}

_,

где дисперсия доли альтернативного признака в выборочной совокупности

При бесповторном отборе: для среднего значения признака _,

_{Для доли}

Множитель появляется потому, что при бесповторном отборе численность генеральной совокупности N в ходе выборке сокращается.

Предельная ошибка выборки:

для генерального среднего значения признака

_{для генеральной доли , где t – коэффициент доверия изтаблицы распределения Стъюдента}

Основная задача выборочного обследования в торговле состоит в том, что на основе характеристик выборочной совокупности (частность w, , средняя ) получить достоверные суждения о показателях доли p или в генеральной совокупности.

Пример: При контрольной проверке качества продуктовых изделий проведено 5% -ое собственно-случайное выборочное обследование партии. При этом из 100 отобранных в выборку изделий 90 штук соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного изделия в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении г.

На основе полученных в выборке данных нужно установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия во всей партии.

1. устанавливаются характеристики выборочной совокупности

m –количество единиц обладающих изучаемым признаком (90 шт) n- общая численность единиц выборочной совокупности (100 шт)

Средний вес одного изделия и показатель частности w характеризует лишь долю стандартных изделий в выборке. Для определения показателей для всей партии необходимо установить возможные значения ошибки выборки.

Значения средней ошибки выборки: для показателя доли стандартных изделий:

Для показателя среднего веса изделия г.

Полученные значения средней ошибки выборочной доли ( 0,029) и средней ошибки выборочной средней ( 1,5г) необходимы для установления возможных значений генеральной доли и генеральной средней .

Одно из возможных значений, в пределах которых может находиться доля стандартных изделий во всей партии, определяется по формуле , т.е г. , что соответствует значениям ; , т. можно полагать, что средний вес одного изделия во всей партии продукции находится в пределах от499 до 502 г.

Полученные таким образом характеристики доли р и средней в генеральной совокупности отличаются от показателей выборочной доли w и средней на величины средней ошибки выборки .

Это суждение можно гарантировать с вероятностью 0,683 (т.к. коэффициент доверия t =1), т.е из 1000 случаев в 683 генеральная доля и генеральная средняя будут находиться в установленных пределах в остальных 317 они могут выйти за эти пределы.

Если доверительная вероятность 0,997, тогда значение t=3. доля стандартных изделий будет колебаться от 81,3 до 98,7%, а средний вес изделий от 496,0 до 505,0 г..

Т.о. показатели р и генеральной совокупности определяются по показателям выборки.

Основные способы формирования выборочной совокупности

Классификация:

по виду индивидуальный, групповой и комбинированный отбор.

Индивидуальный – в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности;

Групповой – группы единиц

Комбинированный – предполагает сочетание группового и индивидуального отбора.

По методу: бесповторный – отбор, при котором попавшая в выбору единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор.

Повторный – единица после регистрации возвращается в выборку. При этом все единицы совокупности имеют одинаковую вероятности попасть в выборку, т.к. совокупность остается неизменной. (население, покупатели и т.д)

По способу отбора: (определяется конкретный механизм или процедура выборки):

Собственно-случайная

Механическая

Типическая

Серийная

Комбинированная

Собственно-случайная – отбор наугад, без какой-либо системности. Однако необходимо знать ,что все без исключения единицы имеют равные шансы попасть в выборку, нужно иметь четкие границы исследуемой совокупности. (жеребьевка, лотерея)

Механическая выборка используется при упорядоченной совокупности, т. имеется определенная последовательность( списки, табельные номера, номера домов ). Отбирается 20-я, 50-я, 101-я и т.д.единица.

Типический отбор применяется тогда, когда все единицы генеральной совокупности разбиты (или можно разбить) на несколько типических групп (отрасль, районы, социальные, возрастные группы, форма собственности) Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой группы механическим или собственно- случайным способом. Отбор организуется либо пропорционально объему групп либо пропорционально внутригрупповой дифференциации признака.

Серийный отбор Единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. (упаковки продуктов, студенческие группы. Сущность заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.

Малая выборка

При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперемент может проводиться на основе малой выборки. Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем обычно не более 30 единиц, а может доходить до 4-5. В торговле к минимальному объему выборки прибегают, когда большая выбока или невозможна, или нецелесообразна ( порча или уничтожение образцов).

Средняя ошибка малой выборки , для малой выборки , поскольку имеет существенное значение вычисление дисперсии малой выборки происходит с участием числа степеней свободы.

Под числом степеней свободы понимается количество вариантов, которые могут принимать произвольные значения, не меняя средней.

Предельная ошибка малой выборки - . При этом, значение коэффициента доверия t зависит не только от заданное доверительной вероятности, но и от численности выборки n. . Для определения вероятности используют таблицы Стьюдента.

Приведем выдержку из таблицы распределения Стьюдента.

Распределение вероятности в малых выборках в зависимости

от коэффициента доверия t и объема выборки n*

n t	4	5	6	7	8	9	10	15	20	∞
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	348 608 770 860 933 942	356 626 792 884 946 960	362 636 806 908 955 970	366 644 816 908 959 970	368 650 832 914 963 980	370 654 828 920 966 938	372 656 832 924 968 984	376 666 846 936 975 992	378 670 850 940 978 992	383 683 865 954 988 997

* При n = ∞ в таблице даны вероятности нормального распределения. Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000.

Как видно из таблицы, при увеличении n это распределение стремится к нормальному и при n = 20 уже мало от него отличается.

Оптимальная численность выборки

При проведении выборочных исследований в торговле для определения характеристик выборки часто образцы разрушаются, поэтому нормы отбора образцов в выборку должны быть минимальными. Это связано еще и с тем, что необходимо получить достоверные сведения с минимальными затратами времени и труда. Поэтому вопрос о оптимальности численности выборки имеет важное практическое значение. Повышение процента выборки, как правило ведет к снижению погрешностей, но увеличивает затраты. следовательно, необходимо учитывать две проблемы при организации выборочного обследования.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки

Бесповторный отбор для среднего значения для доли

Повторный отбор для среднего значения для доли

ВОПРОСЫ

1. В чем отличие выборочного наблюдения от других видов несплошного наблюдения?

2. Что такое ошибка выборки?

3. В чем состоят основные проблемы теории выборочного наблюдения?

4. Какие вы знаете способы отбора единиц из генеральной совокупности?

5. Назовите основные способы распространения выборочных данных на генеральную совокупность.

6. Назовите особенности планирования выборочного обследования и его основные этапы.

Пример решения

Рассмотрим решение типовых задач по выборке.

Задача 1. В результате выборочного наблюдения затрат времени на изготовление некоторых деталей получены следующие данные:

Таблица

Затраты времени на изготовление деталей, мин (X)	20-22	22-24	24-26	26-28	ИТОГО
Число деталей (f)	67	133	127	73	400

Требуется:

1. Определить выборочные характеристики: средние затраты времени на изготовление одной детали и долю деталей, на которые затрачивается до 24 мин.

2. Вычислить средние ошибки этих показателей.

3. Рассчитать с вероятностью 0,954 предельные ошибки.и границы нахождения генеральных характеристик.

Решение.

На основе ряда распределения определим требуемые характеристики:

1) средние затраты времени на изготовление одной детали:

2) доля деталей, на которые затрачивается до 24 мин.:

3) средние ошибки полученных характеристик определим по формулам собственно-случайного повторного отбора, так как доля выборки у нас незначительна и поправка на бесповторность отбора существенно не повлияет на результат:

;

Соответствующие дисперсии равны

Тогда ( для средней)

(для доли)

4) переход от средней ( ) к предельной ( ) ошибке осуществляется по формуле (для всех видов выборки "t" -величина, связанная с вероятностью, с которой гарантируется результат). У нас Р = 0,954. Ей соответствует значение t = 2. Тогда имеем

Отсюда с вероятностью 0.954 можно указать границы для генеральных характеристик:

или

или

Задача 2. По данным задачи N1 определить предельные ошибки выборочных показателей с той же вероятностью при условии 20- процентного бесповторного отбора:

Задача 3. Сколько деталей необходимо отобрать из партии в 2000 штук в порядке бесповторного отбора, чтобы ошибка средних затрат времени на изготовление деталей не превышала 0,2 мин., а ошибка доли деталей, на изготовление которых тратится менее 24 мин. - 4%, с вероятностью 0,95.

Примечание: необходимые для расчетов дисперсии взяты из первой задачи. Оценка дисперсии при определении объема выборки является наиболее трудной проблемой планирования выборочного наблюдения.