4.2 Аналитический способ сложения сходящихся сил.

Чтобы сложить сходящиеся силы аналитическим способом, надо вычислить проекции этих сил на оси прямоугольных координат.

Н айдем проекции сил на ось, когда силы и ось лежат в одной плоскости (Рисунок 4.6).

Рисунок 4.6

A₁

B₁

B₂

A₂

B₃

A₃

A₄

B₄

O

a₁

b₁

a₂

b₂

b₃

a₃

a₄

X

X₁

X₂

X₃

₁

₁

₁

₁

Проекция силы на ось (по величине и по знаку) равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

(4.3)

Обозначим проекции сил соответственно . Из рисунка видно, что эти проекции будут равны:

; ;

; .

Теперь вычислим проекцию силы на оси прямоугольных координат в случае, когда сила произвольно расположена в пространстве (рисунок 4.7).

Разложим силу на составляющие вдоль осей координат:

или (4.4)

где

– орты прямоугольных осей координат;

– проекции силы на соответствующие оси координат.

Проекции силы на оси прямоугольных координат определяются по формулам:

(4.5)

Если известны проекции силы на оси координат, то модуль силы определяется по формуле, как диагональ прямоугольного параллелепипеда:

(4.6)

А ее направление по трем направляющим косинусам:

(4.7)

Найдем равнодействующую системы сходящихся сил аналитическим способом. Известно, что равнодействующая системы сходящихся сил определяется геометрически их геометрической суммой: .

Спроектируем это векторное равенство на оси прямоугольной системы координат и найдем проекции равнодействующей :

(4.8)

Модуль равнодействующей силы определится согласно формуле (3.6):

(4.9)

А направление по трем направляющим конусам:

(4.10)

4.3 Равновесие системы сходящихся сил.

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, главный вектор этих сил были равны нулю.

1. Геометрическое условие равновесия.

Так как главный вектор системы сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил (см. рисунок 4.5), то может обратиться в нуль только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой силы, т.е. когда многоугольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

2. Аналитические условия равновесия.

Аналитически модуль главного вектора системы сил определяется формулой:

так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R = 0, если , т.е., когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

; ; (4.11)

Равенства (4.11) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из координатных осей равнялись нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую сходящуюся систему сил, тогда условия равновесия примут вид:

, (4.11')