6.2 Условия равновесия системы сил. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т.е. чтобы выполнялись условия:

, (6.6)

где O – любой центр.

Условия (6.6) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (6.6) являются и достаточными, потому что при система сил может приводиться только к паре с моментом , а так как , то имеет место равновесие.

Пользуясь полученным результатом, докажем теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра O равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Пусть система сил приводится к равнодействующей , линия действия которой проходит через точку C (рисунок 6.3). Приложим к этой точке силу . Тогда система сил , будет находиться в равновесии, и для нее должно выполняться условие , т.е. согласно формуле (6.5) для данных сил, включая силу , должно быть . Но так как , и обе силы направлены вдоль одной прямой, то , т.е. можно записать

(6.7)

Т.е. теорема доказана. Ею удобно пользоваться при вычислении моментов сил.

Рисунок 6.3

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте теорему о параллельном переносе силы.

2. Что называется главным вектором системы сил?

3. Что называется главным моментом системы сил?

4. Как геометрически определяется главный вектор системы сил?

5. Определите главный вектор системы сил, которая изображена на рисунке, если F₁ = 10 H, F₂ = 50 H, F₃ = 30 H, OA = 4 м, ОВ = 0,6 м, ОС = 0,3 м.

6. Запишите формулы, с помощью которых аналитически определяется главный момент системы сил относительно выбранной точки.

7. Определите главный момент системы сил, которая задана в задаче 5, относительно начала координат.

8. Зависят ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от выбора центра приведения.

9. При каком условии сила, равная главному вектору плоской системы сил, является равнодействующей этой системы сил?

7. Плоская система сил

7.1 Алгебраические моменты сил и пары сил

7.1.1 Алгебраический момент силы относительно центра

Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра O, находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т.е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда не прибегая к векторной символике, можно направление этих моментов отличать одно от другого и рассматривать момент силы относительно центра O как алгебраическую величину, которую будем обозначать .

Алгебраический момент силы относительно центра O равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля плечо, т.е.:

(7.1)

Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра O против хода часовой стрелки и отрицательным – если по ходу часовой стрелки. Так, для сил изображенных на рисунке 7.1:

Рисунок 7.1

Следует отметить, полученные формулы (6.5) и (6.7), содержащие суммы моментов-векторов, сохраняет свой вид и для алгебраических моментов , но суммы при этом будут не векторные, а алгебраические.