Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқуы

Х-кездейсоқ шама және М(Х)- оның математикалық күтімі болсын. Жаңа кездейсоқ шама ретінде Х-М(Х) айырымын қарастырамыз.

Анықтама: Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінің айырымы ауытқу деп аталады.

Ауытқу мынадай таралу заңымен беріледі:

Х-М(Х)	Х1-М(Х)	Х2-М(Х)	...	Хn-М(Х)
Р	Р1	Р2	...	Рn

Теорема: Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең:

.

6-мысал: Х дискретті кездейсоқ шамасы мынадай таралу заңымен берілген:

Х	1	2
Р	0,2	0,8

Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең екендігін дәлелдеу керек.

Шешуі: Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табамыз:

.

Àóûòºóäû» ì¾ìêií ì¸íäåðií òàáó ¾øií Х-тің мүмкін мәндерінен математикалық күтімді алàìûç: Ì(õ): 1-1,8=-0,8; 2-1,8=0,2.

Ауытқудың таралу заңдылығын жазамыз:

Х-М(х)	-0,8	0,2
Р	0,2	0,8

Ауытқудың математикалық күтімін табамыз:

Практикада кездейсоқ шаманың оның орта мәні маңайындағы мүмкін болатын мәндерінің таралуын бағалау керек болады.

Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы (шашылуы) деп кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен ауытқуының квадратының математикалық күтімін айтамыз

(2)

Мысал 7. Мынадай таралу заңымен берілген Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табу керек:

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Шешуі: Алдымен математикалық күтімін табамыз:

.

Ауытқудың квадратының барлық мүмкін мәндерін табамыз:

Ауытқудың квадратының таралу заңын жазамыз:

[Х-М(х)]2	1,69	0,09	7,29
Р	0,3	0,5	0,2

Анықтама бойынша: .

Теорема: Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтімі мен математикалық күтімнің квадратының айырымына тең:

(3)

8-мысал: Таралу заңымен берілген, Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табу керек:

Х	2	3	6
Р	0,1	0,6	0,3

Шешуі: Математикалық күтімді М(х) табамыз.

Х² кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын жазамыз:

Х2	4	9	25
Р	0,1	0,6	0,3

М(Х²) –тың математикалық күтімін табамыз:

Онда, іздеп отырған дисперсиямыз: .

Дисперсияның қасиеттері

1. С тұрақты шамасының дисперсиясы 0-ге тең: Д(С)=0.

2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады

3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда қосындының (айырманың) дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең: