1. Теоретические упражнения

В общем виде задача линейного программирования записывается следующим образом:

при ограничениях

где - заданные постоянные величины и .

В матричном виде задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

при ограничениях

m = 1. Известно, что точки А(23, 8, 24), В(3, 2, 4), С(5, 5, 24) являются оптимальными решениями некоторой задачи линейного программирования. Докажите, что точка М(7, 4, 14) также является оптимальным решением этой задачи.

m = 2. Пусть - оптимальные решения задачи линейного программирования: при . Докажите, что отрезок целиком состоит из оптимальных решений данной задачи.

m =3. Приведите пример задачи линейного программирования ( ) при , область допустимых значений которой содержит какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Может ли множество оптимальных решений задачи совпадать с точкой К(1, 2).

m = 4. Докажите, что задача линейного программирования при разрешима тогда и только тогда, когда множество допустимых решений ограничено.

m = 5. Известно, что точки А(7, 9, 7), В(3, 2, 5), С(1, 3, 4) являются оптимальными решениями некоторой задачи линейного программирования. Докажите, что точка М(3, 4, 5) также является оптимальным решением этой задачи.

m = 6. Найдите все значения параметра а, при которых точка (3, 2) является оптимальным решением задачи линейного программирования

при ограничениях

m =7. Приведите пример задачи линейного программирования ( ) при , область допустимых значений которой содержит какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Может ли множество оптимальных решений задачи совпадать с отрезком с концами А(2, 3), В(7, 6)?

m =8. Приведите пример задачи линейного программирования вида при , для которой и .

m = 9. Известно, что точки А(8, 2, 13), В(1, 7, 5), С(7, 9, 15) являются оптимальными решениями некоторой задачи линейного программирования. Докажите, что точка М(5, 7, 11) также является оптимальным решением этой задачи.

m = 10. Найдите все значения параметра а, при которых точка (4, 10) является единственным оптимальным решением задачи ли-

нейного программирования

при ограничениях

m=11. Приведите пример задачи линейного программирования ( ) при , область допустимых значений которой содержит какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Может ли множество оптимальных решений задачи совпадать с лучом, выходящим из точки А(4, 3) и содержащим точку В(5, 5)?

m = 12. Докажите, что если точки А(1, 1), В(1, 2), С(4, 3) являются оптимальными решениями задачи линейного программирования при , то .

m = 13. Известно, что точки А(9, 13, 17), В(3, 11, 19), С(5, 14, 16) являются оптимальными решениями некоторой задачи линейного программирования. Докажите, что точка М(5, 13, 17) также является оптимальным решением этой задачи.

m = 14. Приведите пример задачи линейного программирования ( ) при , область допустимых значений которой содержит какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Может ли множество оптимальных решений задачи совпадать с прямой, проходящей через точки А(4, 3) и В(5, 5).