2 Лабораторные работы
2.1 Лабораторная работа № 1 Исследование характеристик потоков в информационных системах
Находится в разработке
2.2 Лабораторная работа № 2 Использование дифференциальных уравнений Колмогорова для исследования систем массового обслуживания
1.Цель работы.
Ознакомиться с методами использования марковских систем для исследования систем массового обслуживания (СМО). Получить практические навыки в решении систем дифференциальных уравнений Колмогорова и их использовании для анализа систем массового обслуживания.
2.Основные теоретические положения
Марковские случайные процессы
Пусть имеется физическая система S, которая меняет свое состояние случайным образом, в этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени, вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени и не зависят от того, как и когда система пришла в это состояние.
Марковские процессы делятся классы:
Процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний.
Процессы с дискретным временем и непрерывным множеством состояний.
Процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.
Процессы с дискретным временем и дискретным множеством состояний.
Уравнение Колмогорова для вероятностей состояний
Некоторые системы описываются в виде графа.
Рисунок 2.2.1 – граф переходов для системы S
Пусть S1,S2,S3,S4
–состояния системы и каждому из них
соответствует своя вероятность,
нахождения системы в этом состоянии и
-
вероятность того, что система в момент
времени t находится в
состоянии S1.
Для исследуемой системы выполняется
условие
,
которое называется условием нормировки.
Оно выполняется всегда, так как система
всегда находится в каком-либо из возможных
состояний, а их число по нашему допущению
конечно.
Интенсивность переходов:
,
где
-
время нахождения системы в данном
состоянии. Зададим малое приращение
и найдем вероятность
того, что в момент
система будет находиться в состоянии
S1. Это может произойти,
по одному из двух сценариев:
Система была в момент времени t в состоянии S1 и за время никуда из этого состояния не ушла.
В момент времени t система была в состоянии S2 и за время перешла в состояние S1.
Рассмотрим вероятности этих событий:
Возьмем предел от этой функции:
Таким образом, система уравнений Колмогорова имеет вид:
Общее правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова
В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние на интенсивность соответствующих потоков событий минус произведение вероятности данного состояния на суммарную интенсивность всех потоков выводящих систему из данного состояния.
Начальные условия: P1(t)=1, P2(t)=P3(t)=P4(t)=0
Pi(t)=const (установившейся режим).
Для установившегося режима:
Это, так называемые, алгебраические уравнения Колмогорова.