24. Частотные статистические характеристики рядов распределения

1) Частотные характеристики – это абсолютная численность і-й группы, то есть частота f_i, и относительная частота, то есть доля d_i

Если интервалы вариационного ряда неравные, то рассматривают плотность частоты

g_i=f_i/h_i и плотность доли g_i=d_i/h_i Плотность распределения — это количество единиц совокупности, приходящееся на единицу величины интервала группировального признака.

Дополнительной характеристикой вариационных рядов является кумулятивная частота S_f (доля S_d ), характеризующая объем совокупности со значением варианты, которые не превышают x_j. Кумулятивные частотные характеристики образуются последовательным суммированием абсолютных или относительных частот. Так, , , и т.д.

25. Характеристики центра распределения.

2) К характеристикам центра распределения относят среднюю, моду и медиану.

Середняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности. По данным ряда распределения средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная:

на основе частот на основе долей

; ,

где m – число груп.

Мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту, то есть значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности. В дискретном ряду (определяется визуально). Если моды две – то это бимодальный вариационный ряд

36,37,37,38,37,38,39,40 М_о=37

В интервальном ряду распределения сначала определяется модальный интервал, а уже в пределах этого интервала – точное значение моды.

(где х_о – нижня граница модального интервала; h_Mo – ширина модального интервала;

частота модального, предмодального и послемодального

интервалов соответственно)

Медиана – значение признака, являющееся серединой вариационного ряда, то есть делящее его на две равные части.

36,37,37,37|38,38,39,40

В интервальном ряду распределения сначала определяется медианный интервал, а уже в пределах этого интервала – точное значение медианы:

де х_о – нижня граница медианного интервала;

h_Mo – ширина медианного интервала; – частота медианного интервала;

– кумулятивная частота предмедианного интервала)

В одномодальных симметричных рядах распределения

26. Статистические характеристики вариации.

3) Характеристики вариации

Для измерения и оценки вариации используют абсолютные характеристики (вариационный размах, среднее линейное отклонение, среднеквадратическое отклонение) и относительные характеристики (коэффициенты вариации, неравномерности распределения).

а)абсолютные характеристики вариации:

Вариационный размах характеризует диапазон вариации, это разница между максимальным и минимальным значениями признака.

Середнее линейное отклонение – это середнее из модулей отклонений индивидуальных значений от центра распределения

;

Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от центра распределения

Середнее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии

; .

По первичным, несгруппированным данным эти характеристики вариации рассчитываются по принципу простой средней, то есть:

; .

Середнее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение по смыслу идентичны, но .

Для альтернативного признака, вариация которого имеет два значения „да” и „нет”. дисперсия рассчитывается по формуле, как произведение долей:

б)относительные характеристики вариации:

Сравнивая вариации разных признаков или одного признака в разных совокупностях используют относительные характеристики вариации. Коэфффициенты вариации рассчитываются как отношения абсолютных, именованных характеристик вариации (σ, , R) к центру распределения и часто выражаются процентами, то есть:

Линейный коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации

Коэффициент осцилляцииї

Чем менье среднее отклонение, тем более типична средняя, тем более однородна совокупность. Квадратический коэффициент вариации используют как критерий однородности совокупности. В симметричном, близком к нормальному, распределении V_s = 0,33.

Если: V < 10% - незначительная вариация, совокупность однородна;

10 % ≤ V ≤ 30% - середнее колебание, совокупность в пределах однородности, значение средней можна считать типичным уровнем признака в данной совокупности;

V > 33% - високий уровень вариации, совокупность неоднородна, значение средней нельзя считать типичным уровнем признака в данной совокупности.