Решение типового варианта лабораторной работы №1

Дана двумерная выборка дискретных случайных величин Х и Y (табл. 1.2):

Таблица 1.2

Х	Y	Х	Y	Х	Y	Х	Y	Х	Y
70	66	73	68	59	57	66	61	59	58
66	63	61	60	68	65	74	68	58	57
67	62	74	68	62	60	73	67	70	65
67	63	71	67	69	64	60	58	70	65
77	72	74	72	74	71	68	67	64	60
70	66	65	62	53	56	66	63	68	63
66	63	70	65	63	60	69	66	74	68
64	64	63	60	59	57	73	69	62	59
70	64	68	65	72	70	79	71	60	57
71	66	66	62	64	61	69	69	54	55
65	63	61	59	58	56	63	61	65	63
56	59	70	65	72	69	57	57	71	65
62	59	59	58	63	60	67	62	71	66
70	66	75	69	57	55	58	57	68	67
60	58	73	68	55	55	66	62	56	56
60	59	71	67	74	67	71	66	74	70
76	71	55	58	61	58	67	62	71	68
73	69	62	59	69	65	73	68	59	60
66	62	69	64	58	56	56	54	67	64
65	62	59	61	61	61	69	66	61	59

1. Построить вариационные ряды для величин х_i.

Решение. Просматривая выборку из Х, находим минимальное значение х = х₁ = 53, которое встречается один раз. Следующее большее значение х₂ = 54 встречается также один раз. Продолжая просмотр, получим следующий вариационный ряд для Х:

Таблица 1.3

хi	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65
ni	1	1	2	3	2	4	6	4	5	4	4	3	4
хi	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	79
ni	7	5	5	6	8	7	2	6	7	1	1	1	1

Делаем проверку: , т.е. вариационный ряд построен верно.

2. Составляем интервальный ряд распределения для Х.

По формуле (1.3) найдем длину интервала h_х:

.

Округляя до ближайшего целого четного числа, получим h_х = 4.

Находим начало 1-го интервала х_нач.:

х_нач = х_min – h_x/2 = 53 – 2 = 51.

При таком х_нач. конец последнего интервала х_кон. совпадает с х_mах, поэтому в качестве х_нач целесообразно взять значение х_нач. = 52, чтобы было x_max < x_кон..

Заполняем два первых столбца таблицы 1.4.

Таблица 1.4

Начало интервала xi	Конец интервала xi+ 1	Середина интервала	Частота интервала	Относительная частота интервала	Теоретическая частота интервала nit
52	56	54	5,5	0,055	4,12
56	60	58	15,5	0,155	11,3
60	64	62	16,5	0,165	20,88
64	68	66	20	0,2	25,45
68	72	70	24,5	0,245	20,69
72	76	74	15,5	0,155	11,17
76	80	78	2,5	0,025	4,03

Находим середины интервалов и значения заносим в 3-й столбец таблицы 1.4.

Из таблицы 3 находим число вариант , попадающих в каждый интервал, и заносим в 4-й столбец таблицы 1.4.

В 5-й столбец таблицы 4 записываем относительные частоты .

3. Строим гистограмму интервального распределения Х (рис. 1.2):

Рис. 1.2

f*(x) и f(x) – эмпирическая и теоретическая кривые плотности вероятности случайной величины Х соответственно.

На основе гистограммы строим график (сплошная линия) эмпирической функции плотности вероятности Х(f_э(х)), плавно обводя вершины прямоугольников.

4. Из гистограммы видно, что модой является середина 5-го интервала, имеющего максимальную частоту. Середина 5-го интервала является модой интервального распределения Х.

Срединным интервалом является 4-й интервал, т.к. середина этого интервала является медианой интервального распределения Х.

5. По формулам (1.5), (1.6), (1.7) соответственно находим среднее , дисперсию D_x и среднее квадратическое отклонение _х, используя данные таблицы 1.2:

.

По данным таблицы 1.3 находим выборочное среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по формулам (1.8), (1.9), (1.10) соответственно:

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания находим по формулам (1.13)–(1.16). Из таблицы для Ф(х_) = 1/2 = 0,45 (Приложение) находим: х_  1,645.

Доверительный интервал для оценки дисперсии находим по формулам (1.17), (1.18):

7. Используя данные из таблицы 3 и вычисленные значения и _хв, по формуле (1.17) вычисляем теоретические частоты для интервала n_it:

.

Вычисленные частоты заносим в 6-й столбец таблицы 1.4.

Значения относительных частот интервалов n_it/100 с абсциссами заносим на рис.2 и через эти точки проводим теоретическую кривую (штриховая линия). Видно, что ход теоретической кривой качественно совпадает с ходом эмпирической кривой.

8. С помощью критерия согласия Пирсона проверяем гипотезу о нормальном распределении Х. Т.к. имеются частоты с малочисленными интервалами (1-й и 7-й), то объединяем 1-й интервал со вторым, а 7-й - с шестым. Заполняем таблицу 5 для новых частот n_iэ и k_it:

Таблица 1.5

niэ	21	16,5	20	24,5	18
kit	15,54	20,88	25,45	20,69	15,2

По данным таблицы 1.5 находим :

.

Находим число степеней свободы k:

k = l – 3 = 5 – 3 = 2.

Для уровня значимости  = 0,05 и k = 2 из таблицы 5 находим критическое значение Т.к. > (6 > 5,32), то гипотезу о нормальном распределении Х принимаем.

Аналогичным образом проводим расчеты для выборки Y.

1. Строим вариационный ряд:

Таблица 1.6

yi	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72
ni	1	3	4	6	6	7	7	5	8	7	5	8	8	6	7	5	2	3	2

2. Составляем интервальный ряд распределения Y.

Округляя, получим h_у = 2.

Начало 1-го интервала:

у_нач = у_min – h_у/2 = 54 – 1 = 53.

Заполняем два первых столбца таблицы 1.7.

Таблица 1.7

Начало интервала уi	Конец интервала уi+1	Середина интервала	Частота интервала	Относительная частота интервала	Теоретическая частота интервала nit
53	55	54	2,5	0,025	2,63
55	57	56	8,5	0,085	5,57
57	59	58	12,5	0,125	9,67
59	61	60	13	0,13	14,08
61	63	62	14	0,14	16,93
63	65	64	12,5	0,125	16,82
65	67	66	15	0,15	13,93
67	69	68	12,5	0,125	9,53
69	71	70	6	0,06	5,4
71	73	72	3,5	0,035	2,54

Находим середины интервалов и заполняем 3-й столбец таблицы 1.7.

Используя таблицу 1.6, заполняем 4-й столбец таблицы 1.7.

В 5-й столбец таблицы 1.7 заносим относительные частоты .

3. Строим гистограмму интервального распределения Y (рис. 1.3):

Рис. 1.3

f*(у) и f(у) – эмпирическая и теоретическая кривые плотности вероятности случайной величины Y соответственно.

По гистограмме строим график эмпирической функции плотности вероятности Y(f_э(y)).

4. Из гистограммы видно, что модой является середина 7-го интервала, т.е. можно считать модой М₀ интервального распределения Y.

Верхняя граница 5-го интервала является медианой интервального распределения, т.е. М_е = 63.

5. Находим , D_у, _у:

.

Находим , D_ув, _ув:

6. Находим доверительный интервал для оценки математического ожидания:

Ф(у_) = 1/2 = 0,45; у_  1,645.

Находим доверительный интервал для оценки дисперсии:

7. Используя данные из таблицы 1.6 и вычисленные значения и _ув, по формуле (1.17) вычисляем теоретические частоты для интервала n_it и заносим в 6-й столбец таблицы 1.7.

Значения относительных частот интервалов n_it/100 с абсциссами заносим на рис. 1.8 и через эти точки проводим теоретическую кривую (штриховая линия). Видно, что ход теоретической кривой качественно совпадает с ходом эмпирической кривой.

8. С помощью критерия согласия Пирсона проверяем гипотезу о нормальном распределении Y. Т.к. имеются малочисленные интервалы (1, 10-й для эмпирической частоты и 1, 2, 10-й для теоретической частоты), то объединяем 1-й интервал со вторым, а 10-й с 9-ым. Заполняем таблицу 1.8 для новых частот и :

Таблица 1.8

	11	12,5	13	14	12,5	15	12,5	9,5
	8,2	9,67	14,08	16,93	16,82	13,93	9,53	7,94

По данным таблицы 1.8 находим :

;

Находим число степеней свободы k:

.

Для уровня значимости  = 0,05 и k = 5 из Приложения 3 находим критическое значение ; т.к. (11,1  4,8), то гипотезу о нормальном распределении принимаем.

9. Строим корреляционную таблицу (табл. 1.9). В 1 – й столбец таблицы заносим , а в 1 – ю строку . Для упрощения нахождения величин указываем также начало и конец каждого интервала.

Таблица 1.9

Х Y	54 52 - 56	58 56 - 60	62 60 - 64	66 64 - 68	70 68 - 72	74 72 - 76	78 76 - 80	ny
54 53 – 55	1,5	1						2,5
56 55 – 57	2,5	5,75	0,25					8,5
58 57 – 59	1,25	6,25	5					12,5
60 59 – 61	0,25	2	9,5	1,25				13
62 61 – 63		0,5	1,25	12	0,25			14
64 63 – 65			0,5	5,25	6,75			12,5
66 65 – 67				1	13	1		15
68 67 – 69				0,5	3,25	8,75		12,5
70 69 – 71					1,25	4	0,75	6
72 71 – 73						1,75	1,75	3,5
nx	5,5	15,5	16,5	20	24,5	15,5	2,5	n = 100

Заполнение таблицы начнем с клетки в верхнем левом углу. Просматривая в табл. 1.2 значения Х, попадающие в 1-й интервал для Х, подсчитываем число значений Y сопутствующих этим значениям Х и попадающих одновременно в 1 – й интервал для Y. Варианты, попадающие на границы интервалов, с весом 0,5 учитываем как для рассматриваемого интервала, так и для соседнего. Если в рассматриваемой паре (х, у) и х, и у попадает на границу своего интервала, то эта пара заносится в соответствующие клетки с весом 0,25.

После заполнения всех клеток делаем проверку:

.

10. Заполненные клетки в табл. 1.9 группируются около главной диагонали. Это говорит о том, что связь между Х и Y можно считать линейной.

В предположении линейной корреляции между Х и Y по формуле (1.21) находим выборочный коэффициент корреляции r_в:

+ 60 · 0,25) + 58(54 · 1 + 56 ·5,75 + 58 · 6,25 + 60 · 2 + 62 · 0,5) + 62(56 · 0,25 + 58 ·5 + +60 · 9,5 + 62 · 1,25 + 64 · 0,5) + 66(60 · 1,25 + 62 · 12 + 64 · 5,25 + 66 · 1 + 68 · 0,5) +

+ 70(62 · 0,25 + 64 · 6,75 + 66 · 13 + 68 · 3,25 + 70 · 1,25) + 74(66 · 1 + 68 · 8,75 + 70·4 +

+72 · 1,75) – 100 · 65,96 · 62,96} ≈ 0,934.

11. Выборочные прямые регрессии Y на Х и Х на Y находим соответственно по формулам (1.22) и (1.23):

или

;

или

.

12. На корреляционное поле наносим точки заданной выборки и строим линии регрессии Y на Х и Х на Y (рис. 1.4).

Рис. 1.4

1 – линия регрессии Y на Х;

2 – линия регрессии Х на Y.