7. Эластичность.

Эласти́чность (англ. elasticity) — мера чувствительности одной переменной (например: спроса или предложения) к изменению другой (например: цены,дохода), показывающая на сколько процентов изменится первый показатель при изменении второго на 1%

Коэффициент эластичности (Точечной) эластичностью (коэффициентом эластичности) переменной y к X называется величина:

Данное значение определяет эластичность в конкретной точке. Эластичность постоянна только в рамках логарифмической (или степенной) модели зависимости. Во многих случаях (в том числе и для линейной модели зависимости) эластичность в разных точках отличается. Поэтому рассчитывают также среднюю (дуговую) эластичность как отношение процентных изменений y и x.

Иногда вместо   и   используют среднюю точку в интервале изменения их значений.

где 

Преимуществом последнего способа является симметричность относительно знака изменения фактора.

Качественная характеристика эластичности

]Если коэффициент эластичности по модулю меньше единицы, то говорят о неэластичности переменной y по x. Если коэффициент эластичности больше 1, то говорят, что y эластичен по x, так как каждый процент изменения фактора приводит к ещё большему изменению y. Если коэффициент эластичности равен 1, то говорят о единичной эластичности. В предельном случае, когда коэффициент эластичности равен бесконечности, говорят о совершенной эластичности. Соответственно, при нулевом коэффициенте эластичности — о совершенной неэластичности.

8. Регрессия.

зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от нек-рой другой величины или от нескольких величин. Если, например, при каждом значении х=x_i наблюдается n_i значений  случайной величины Y, то зависимость средних арифметических 

этих значений от x_i и является Р. в статистич. понимании этого термина. При обнаруженной закономерности изменения  с изменением хпредполагается, что в основе наблюдаемого явления лежит вероятностная зависимость: при каждом фиксированном значении хслучайная величина Y имеет определенноераспределение вероятностей с математич. ожиданием, к-рое является функцией х:

Зависимость   , где хиграет роль "независимой" переменной, наз. р е г р е с с и е й (или ф у н к ц ие й р е г р е с с и и) в вероятностном понимании этого термина. График функции т(х)наз. л и н и е й р ег р е с с и и, или к р и в о й р е г р е с с и и, величины Y по х. Переменная хназ. р е г р е с с и о н н о й п е р е м е н н о й, или р е г р е с с о р о м. Точность, с к-рой линия регрессии Yпо хпередает изменение Yв среднем при изменении х, измеряется дисперсией величины Y, вычисляемой для каждого значения х:

Графически зависимость дисперсии s² (х)от хвыражается т. н. с к е д а с т и ч е с к о й л и н и е й. Если s²(х)=0при всех значениях x, то с вероятностью 1 величины связаны строгой функциональной зависимостью. Если s² (х)№0ни при каком значении хи т (х)не зависит от х, то регрессия Yпо хотсутствует..

В теории вероятностей задача Р. решается применительно к такой ситуации, когда значения регрессионной переменной х соответствуют значениям нек-рой случайной величины Xи предполагается известнымсовместное распределение вероятностей величин Xи Y(при этом математич. ожидание   и дисперсия   будут соответственно условным математич. ожиданием и условной дисперсией случайной величины Yпри фиксированном значении X=x). В этом случае определены две Р.: Y по х и X по у, и понятие Р. может быть использовано также для того, чтобы ввести нек-рые меры взаимосвязанности случайных величин X и Y, определяемые как характеристики степени концентрации распределения около линий Р. (см. Корреляция).

Функции Р. обладают тем свойством, что среди всех действительных функций f(x)минимум математич. ожидания   достигается для функции f(x)= т (х), то есть регрессия Y по хдает наилучшее (в указанном смысле) представление величины Y. Наиболее важным является тот случай, когда регрессия Y по хл и н е й н а, т. е.

Коэффициенты b₀ и b₁, наз. коэффициентами Р., легко вычисляются:

(здесь r - корреляции коэффициент X и Y,   ,

 , и п р я м а я регрессии Y по х имеет вид 

(аналогичным образом находится прямая регрессии Xпо у). Точная линейная Р. имеет место в случае, когда двумерное распределение величин Xи Y является нормальным.

В условиях статистич. приложений, когда для точного определения Р. нет достаточных сведений о форме совместного распределения вероятностей, возникает задача приближенного нахождения Р. Решению этой задачи может служить выбор из всех функций g(x), принадлежащих заданному классу, такой функции, к-рая дает наилучшее представление величины Y в том смысле, что минимизирует математич. ожидание   . Найденная функция наз. с р е д н е й к в а д р а т и ч е с к о й Р.

Простейшим будет случай л и н е й н о й с р е д н е й к в а д р а т и ч е с к о й Р., когда отыскивают наилучшую линейную аппроксимацию величины Y посредством величины X, т. е. такую линейную функцию 

 , для к-рой выражение 

принимает наименьшее возможное значение. Данная экстремальная задача имеет единственное решение 

т. е. вычисление приближенной линии Р. приводит к тому же результату, к-рый получен в случае точной линейной Р.:

Минимальное значение   при вычисленных значениях параметров равно  . Если регрессия т(х)существует, то при любых b₀ и b₁ имеет место соотношение 

откуда следует, что прямая средней квадратич. регрессии   дает наилучшее приближение к линии регрессии т(х), если измерять расстояние вдоль оси у. Поэтому если линия т(х)есть прямая, то она совпадает с прямой средней квадратической Р.

В общем случае, когда Р. сильно отличается от линейной, можно поставить задачу нахождения многочлена   нек-рой степени т, для к-рого среднее значение   имеет возможно меньшее значение.

Такое решение задачи соответствует п а р а б о л ич е с к о й (или п о л и н о м и а л ь н о й) средней квадратической Р. (см. Параболическая регрессия).порядка т. Кривая   есть парабола m-го порядка, дающая наилучшую аппроксимацию истинной линии Р. Обобщением параболической Р. служит функция Р., выраженная линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

Наиболее важное значение имеет случай, когда j₀ (х), . . .,j_m (х) - ортогональные многочлены соответствующих порядков, построенные по распределению X. Другими примерами н е л и н е й н о й (к р и в о л ин е й н о й) Р. являются случаи тригонометрической Р., показательной Р., и т. п.

Понятие Р. естественным образом обобщается на тот случай, когда вместо одной регрессионной переменной рассматривается нек-рое множество переменных. Если случайные величины X₁ Х₂, . . ., Х _пимеют совместное распределение вероятностей, то множественная Р. определяется, напр., как регрессия X₁ по x₂, . . . , х _п:

Соответствующее уравнение определяет поверхность регрессии Х ₁ по х₂, . . ., х _n. Линейная регрессия Х ₁по х ₂, . . ., х _п имеет вид 

где b₂, . . ., b_n- коэффициенты Р. (при   ). Линейная средняя квадратическая Р. величины Х ₁ по x₂, . . ., х _п определяется как наилучшая линейная оценка величины Х ₁ величинами Х ₂, . .., Х _п в смысле обращения в минимум выражения 

Соответствующая п л о с к о с т ь Р. дает наилучшую аппроксимацию поверхности регрессии x₁=m(x₂, . . ., х_п), если последняя существует. Если поверхность Р. есть плоскость, то она необходимо совпадает с плоскостью средней квадратической Р. (так будет в случае, когда совместное распределение всех пвеличин нормально).

Простым примером регрессии Yпо Xявляется зависимость между Yи X, к-рая выражается соотношением   , где  , а случайные величины Xи dнезависимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у=и (х)между неслучайными величинами уи х. Эта же модель Р. используется во многих приложениях при изучении характера зависимости случайной величины Yот неслучайной величины х. На практике выбор функции у=и (х)и оценку неизвестных коэффициентов Р. по экспериментальным данным производят методами регрессионного анализа.