Система сходящихся сил

1.1.3 Сложение сил.

Главным вектором системы сил называют геометрическую сумму сил системы.

Геометрический способ сложения сил

Сложение двух сил. Геометрическая сумма двух сил и находится по правилу параллелограмма или построением силового треугольника, изображающего одну из половин этого параллелограмма.

Модуль равнодействующей силы

.

(1.3)

где α – угол между силами.

Углы, которые сила образует со слагаемыми силами, определяются из уравнения

.

(1.4)

Рисунок 1.15 – Сложение двух сил: а – по правилу параллелограмма; б – построением силового треугольника

Сложение трёх сил, не лежащих в одной плоскости. Геометрическая сумма трёх сил , , , не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). В справедливости этого убеждаемся, применяя последовательно правило параллелограмма.

Рисунок 1.16 – Сложение трёх сил, не лежащих в одной плоскости

Сложение системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил , , , … (рис. 1.17, а) откладываем от произвольной точки O (рис. 1.17, б) вектор , изображающий в выбранном масштабе силу , от точки a – вектор , изображающий силу , от точки b – вектор , изображающий силу , и т.д.; от конца m предпоследнего вектора откладываем вектор , изображающий силу . Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

или .

(1.5)

Рисунок 1.17 – Система сходящихся сил и её геометрическая сумма (главный вектор) , являющийся равнодействующей

Равнодействующая сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 1.17, а).

Т.к. сила, действующая на абсолютно твёрдое тело, является вектором скользящим, то система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 1.17, а в точке А). Последовательно применяя закон параллелограмма сил, придём к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке пересечения их линий действия. Следовательно, система сил , , , … (рис. 1.17, а) имеет равнодействующую, равную их главному вектору , и приложенную в точке А (или в любой другой точке, лежащей на линии действия силы , проведённой через точку А).

В задачах механики система сходящихся сил может быть приложена к материальной точке массой m, тогда равнодействующая сила вызывает ускорение точки , направленное в сторону вектора . В частном случае, когда равнодействующая представляет собой нулевой вектор , и точка находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Все силы, приложенные к точке, являются сходящимися, поэтому собственное вращение материальной точки не рассматривается. Чтобы изменить вращение твёрдого тела, к нему надо приложить не сходящуюся систему сил. Если на твёрдое тело действует только сходящаяся система сил, то состояние вращения твёрдого тела не изменяется.

Разложение силы на сходящиеся составляющие

Разложить данную силу на две или несколько сходящихся составляющих сил значит найти такую систему двух или нескольких сходящихся сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределённой и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два частных случая:

Разложение силы по двум заданным направлениям. По данной силе , очевидно, можно построить бесчисленное множество параллелограммов сил, и, следовательно, задача о разложении данной силы на две сходящиеся составляющие силы является в такой постановке неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании двух дополнительных условий.

Такими дополнительными условиями могут, например, быть: 1) задание двух направлений, по которым должны действовать составляющие; 2) задание модулей обеих составляющих сил; 3) задание модуля одной составляющей силы и направление другой.

В первом случае задача сводится к построению такого параллелограмма, у которого диагональ будет изображать силу (рисунок 1.15), а стороны будут параллельны прямым AB и AD. Для решения задачи проводим через начало и конец вектора силы прямые, параллельные AB и AD. При этом стороны таким образом построенного параллелограмма, направление которых совпадает с заданными направлениями искомых составляющих сил, дадут нам эти искомые составляющие силы в том же масштабе, в каком отложена данная сила .

Два последних случая предоставляем читателю рассмотреть самостоятельно.

Разложение силы по трем заданным направлениям. Исходя из правила параллелепипеда сил, можно решить задачу о разложении данной силы на три сходящиеся силы по трем заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости (рисунок 1.16). Для этого, очевидно, достаточно построить параллелепипед, ребра которого имели бы заданные направления, а диагональю ОD являлась бы заданная сила . При этом ребра этого параллелепипеда дадут нам модули искомых составляющих данной силы в том же масштабе, в каком отложена сила .

Проекция силы на ось и на плоскость. Аналитический способ задания и сложения сил

Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый, - проекция положительна, если тупой, - отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, - её проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображённых на рис. 1.17

, , .

(1.6)

Рисунок 1.17 – Проекции силы на ось

Проекцию силы на ось будем обозначать той же буквой, которой обозначена сила, но со знаком внизу, указывающим наименование оси проекций (например, и , или прописной буквой и ).

Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор , заключённый между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (Рисунок 1.18). По модулю

,

(1.7)

где - угол между направлением силы и её проекции .

Заметим, что для нахождения проекции силы , например на ось х, можно сначала найти ее проекцию на плоскость Oxy, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость . спроектировать на данную ось:

,

(1.8)

Рисунок 1.18 – Проекция силы на плоскость

Аналитический способ задания сил. Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Oxyz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве. В механике пользуются правой системой координат, в которой кратчайшее совмещение оси Ox с осью Oy происходит, если смотреть с положительного конца оси Oz, против хода часовой стрелки (рисунок 1.18).

Рисунок 1.18 – Задание силы в правой системе координат

Вектор, изображающий силу , можно построить, если известны модуль F этой силы и углы α, β, γ, которые сила образует с координатными осями. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно её координатами x, y, z.

Для решения задач механики удобнее задавать силу её проекциями , , , на три прямоугольные декартовы оси координат Ох, Оу и Оz (рисунок 1.18). Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:

; , , .

(1.9)

Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости Oxy

; , .

(1.10)

Аналитический способ сложения сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно этой теореме, если есть сумма сил , , , … , т.е. , то

, , .

(1.11)

Зная R_x, R_y, R_z, по формулам 1.9 находим:

; , , .

(1.12)