Момент силы как векторная величина

Рассмотрим силу , приложенную к телу в точке А (рис. 1.19). Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия силы ; длину h этого перпендикуляра называют плечом силы относительно центра О. Момент силы относительно центра О определяется: 1) модулем момента, равным произведению Fh; 2) положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскости поворота»), проходящей через центр О и силу ; 3) направлением поворота в этой плоскости.

Из геометрии известно, что положение плоскости в пространстве определяется направлением нормали (перпендикуляра) к этой плоскости. Таким образом, момент силы относительно центра характеризуется не только его числовым значением, но и направлением в пространстве, т.е. является величиной векторной.

Рисунок 1.19 – Момент силы

Определение: Моментом силы относительно центра О называется приложенный в центре О вектор , модуль которого равен произведению модуля F силы на её плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки. Модуль момента

.=F∙r∙sinα

(1.17)

численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ (рис. 1.19), так как пл.ОАВ=АВh/2=Fh/2. Значение модуля момента силы и направление вектора момента силы говорят о том, что момент силы является векторным произведением векторов и . Отсюда

или , другая форма записи: Mi=[riFi].

(1.18)

где - радиус-вектор точки А, проведённый из центра О.

Главным моментом M системы k сил называется вектор, равный сумме векторов моментов всех сил системы относительно центра приведения

Теорема Вариньона распространяется и на произвольную пространственную систему сил, только в общем случае сумма моментов является геометрической.

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен геометрической сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Приведение системы сил к данному центру

Приведение системы сил к данному центру применяется для замены данной системы сил другой, ей эквивалентной, но более простой. Пусть на тело действует произвольная система сил , , , … (рис. 1.22, а). Выберем какую-нибудь точку О за центр приведения, и пользуясь методом Пуансо, перенесём все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары (см. рис 1.21). Тогда на тело будет действовать система сил

, , …, ,

(1.21)

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых равны:

, , …, .

(1.22)

Рисунок 1.22 – Приведение системы сил к данному центру

Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам (1.21),

.

(1.23)

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, согласно равенствам (1.22)

.

(1.24)

Как известно, величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Мы доказали теорему о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра О (Рисунок 1.22, б).

Заметим, что сила не является здесь равнодействующей данной системы сил, т.к. заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).

Значение от выбора центра О не зависит. Значение же при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

Рассмотрим в заключение два частных случая: 1) если для данной системы сил , а , то она приводится к одной паре сил с моментом . В этом случае значение не зависит от выбора центра О, т.к. иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что невозможно; 2) если для данной системы сил , а , то она приводится к одной силе, т.е. к равнодействующей, равной и приложенной в центре О.