Лабораторна робота №4

Тема: Оцінка сукупності описових статистичних параметрів

Мета: Навчитись розраховувати узагальнюючі статистичні показники вибіркової сукупності безпосередньо за первинними даними спостереження

Теоретичні відомості

Узагальнюючі статистичні показники сукупності обчислюються на основі аналізу варіаційних рядів розподілу. Однак пакет Excel дозволяє розрахувати багато з цих показників безпосередньо за первинними даними спостереження, використовуючи інструмент Описова статистика надбудови Пакет аналізу, а також статистичні функції інструменту Майстер функцій.

Виконання полягає в автоматизованому вирішенні двох статистичних задач:

1. Розрахунок описових показників вибіркової і генеральної сукупностей по несгрупійованими вибірковими даними з використанням інструментів Описательная статистика і Майстер функцій.

2. Оцінка середньої та граничної помилок вибірки для середньої величини ознаки, а також кордонів, в яких ця середня перебуватиме у генеральній сукупності при заданих рівнях надійності.

1. Показники описової статистики

Описові статистики розраховуються по несгрупованих даними і реалізують точні функціональні залежності значень показників від вихідних даних (на відміну від наближених статистичних оцінок, виведених із заданим рівнем надійності). Показники, що обчислюються за допомогою описових статистик (так звані описові параметри), можна розбити на 3 групи - показники становища варіантів значень ознаки, варіації ознаки і особливостей форми його розподілу.

1.1 Показники положення описують положення в первинному ряді даних тих чи інших варіантів значень ознаки, що характеризують ряд. До них відносяться:

• максимальне xmax і мінімальне xmin значення ознаки;

• середня арифметична величина (виступаюча в якості статистичної оцінки

• математичного очікування M[ ] середньої величини ознаки);

• мода Мо - найбільш часто зустрічається варіант значень ознаки або той варіант, який відповідає максимальній ординате емпіричної кривої розподілу;

• медіана Ме - серединне значення рангового ряду варіантів значень ознаки;

• нижній і верхній квартили Q1 і Q3, обмежують центральну зону рангового ряду, в яку потрапляють 50% варіантів значень ознаки: 25% варіантів значень менших серединного значення Ме і 25% варіантів значень більших Ме

Серед показників цієї групи найбільш часто використовуються показники центру розподілу - , Mo і Me. При цьому розраховується для первинного ряду спостережуваних даних, Mo і Me - для ранжированного (упорядкованого) ряду.

Для і Me характерні властивості:

, (1)

Залежно від цілей статистичного дослідження в якості центру розподілу вибирається один з показників , Mo або Me. У разі однорідної сукупності (з нормальним або близьким до нього розподілом одиниць) в якості центру найчастіше використовується середня величина , що характеризує типовий рівень значень ознаки.

Для неоднорідної сукупності (не піддається нормальному закону розподілу) роль центру розподілу зазвичай виконує медіана Ме.

1.2. Показники варіації (коливання) ознаки описують ступінь розсіювання варіантів значень ознаки щодо свого центру (або Ме). Розрізняють показники розміру та інтенсивності варіації. До показників розміру варіації відносяться:

• розмах варіації R = xmax - xmin, який встановлює граничне значення амплітуди коливань ознаки;

• межквартільний розмах Q3─Q1, визначальний максимальну амплітуду коливань в центральній зоні ряду (обмеженою квартилями Q1 і Q3);

• середнє лінійне відхилення , яке обчислюється як середнє арифметичне з абсолютних відхилень |x_i - |:

(2)

• дисперсія 2 (або D), що розраховується як середнє арифметичне з квадратів відхилень (x_i - ):

(3)

• середньоквадратичне (стандартне) відхилення , що обчислюється як корінь квадратний з дисперсії 2:

(4)

Інтенсивність варіації ознаки вимірюється відносними показниками

V_= , V_d= , V_R= , V_Me= .

Показники R, і  є величинами іменованими і виражаються в тих же одиницях, що і досліджувана ознака. Дисперсія ² вважається безрозмірною величиною. Відносні показники інтенсивності варіації, як правило, вимірюються у відсотках.

На розрахунку дисперсії засновані багато статистичні показники. Середньоквадратичне відхилення  показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки xi від їх середньої величини. Розмірність відхилення  збігається з розмірністю самого ознаки, тому цей показник економічно добре інтерпретується. Відхилення, виражені в , прийнято вважати стандартними. Інтенсивність варіації зазвичай вимірюють коефіцієнтом варіації V_{ ,} який виражається у відсотках і обчислюється за формулою

  (5)

Величина V_ оцінює інтенсивність коливань варіантів щодо їх середньої величини. Прийнята наступна оціночна шкала коливання ознаки:

0% <V 40% - колихання незначні;

40% <V 60% - колихання середні (помірні); (6)

V> 60% - колихання значні.

1.3 Показники особливостей форми розподілу. Для визначення типу закономірності емпіричного розподілу воно наближено описується підходящим теоретичним (імовірнісним) розподілом, форму кривої якого називають формою розподілу. У тих випадках, коли форма розподілу аналізується на її близькість до нормальної форми, розбіжність між ними оцінюється показниками асиметрії та ексцесу. Показники асиметрії оцінюють зміщення ряду розподілу вліво або вправо по відношенню до осі симетрії нормального розподілу.

В симетричному розподілі максимальна ордината прямий розташовується точно в середині кривої (рис. 4), а відповідні їй характеристики центру розподілу збігаються  =Mo=Me.

У разі асиметричного розподілу вершина кривої знаходиться не в середині, а зрушена або вліво, або вправо.

Якщо вершина зрушена вліво, то права частина кривої виявляється довшим лівої, тобто має місце правостороння асиметрія, що характеризується нерівністю   >Me>Mo, (9) що означає переважне поява в розподілі більш високих значень ознаки.

Якщо ж вершина кривої зрушена вправо і ліва частина виявляється довше правою, то асиметрія лівостороння, для якої справедливо нерівність <Me<Mo, (10) що означає, що в розподілі частіше зустрічаються більш низькі значення ознаки.

В нормальному і близьких до нього розподілах основна маса одиниць (майже 70%) розташовується в центральній зоні ряду, в діапазоні ( ). Для оцінки асиметричності розподілу в цьому центральному діапазоні служить коефіцієнт К.Пирсона: .

При правобічної асиметрії As_п>0, при лівосторонньої As_п<0. Якщо As_п=0, варіаційний ряд симетричний.

Найбільш точним показником асиметрії розподілу є коефіцієнт асиметрії As, який вираховується за формулою де n - число одиниць сукупності. Як і у випадку коефіцієнта Пірсона, при As> 0 має місце правостороння асиметрія при As <0 - лівостороння.В симетричних розподілах As = 0.

Чим більше величина | As |, тим більше асиметрично розподіл. Встановлено наступну оціночна шкала асиметричності:

| As | 0,25 - асиметрія незначна;

0,25 <| As | 0,5 - асиметрія помітна (помірна);

| As |> 0,5 - асиметрія істотна.

Оскільки коефіцієнти As_п і As є відносними безрозмірними величинами, вони часто застосовуються для порівняльного аналізу асиметричності різних рядів розподілу.

Показник ексцесу характеризує крутизну кривої розподілу - її загостреність або положистість порівняно з нормальною кривою (мал.5).

Для оцінки розбіжностей у ступені крутизни кривих (при однаковій силі варіації) застосовується коефіцієнт ексцесу Ek:

. (14)

Рис. 4.1. Криві розподілу з ненульовим ексцесом (пунктиром позначена нормальна крива): а) островершинним розподілений б) плосковершінних розподіл

Зазвичай, коефіцієнт ексцесу обчислюється тільки для симетричних або близьких до них розподілів. Це пояснюється тим, що за базу порівняння прийнята крива нормального розподілу, що є симетричною. Щодо вершини нормальної кривої і визначається випад вгору або вниз вершини теоретичної кривої емпіричного розподілу. При цьому:

• якщо Ek> 0, то вершина кривої розподілу розташовується вище вершини нормальної кривої, а форма кривої є більш гостровершинності, ніж нормальна (рис. 4.1, а). Це говорить про скупчення значень ознаки в центральній зоні ряду розподілу, тобто про переважне появі в даних значень близьких до середніх;

• якщо Ek <0, то вершина кривої розподілу лежить нижче вершини нормальної кривої, а форма кривої пологіша проти нормальної (рис. 4.1, б). Це означає, що значення ознаки не концентруються в центральній частині ряду, а достатньо рівномірно розсіяні по всьому діапазону від x_max до x_min.

2. Оцінка помилок вибірки

Застосування вибіркового методу спостереження пов'язано з вимірюванням ступеня достовірності статистичних характеристик генеральної сукупності, отриманих за результатами вибіркового спостереження. Достовірність генеральних параметрів залежить від репрезентативності вибірки, тобто від того, наскільки повно і адекватно представлені у вибірці статистичні властивості генеральної сукупності.

Як правило, статистичні характеристики вибіркової і генеральної сукупностей не збігаються, а відхиляються на деяку величину ε, яку називають помилкою вибірки (помилкою репрезентативності). Помилка вибірки - це різниця між значенням показника, що був отриманий за вибіркою, і генеральним значенням цього показника.

Для середнього значення ознаки середня помилка вибірки (її називають також стандартної помилкою) висловлює середньоквадратичне відхилення  вибіркової середньої від математичного очікування M[ ] генеральної середньої . Величина помилки залежить від обсягу вибірки n і від величини варіації ознаки : чим більше n і менше , тим менше помилка .

Гранична помилка вибірки визначає кордону, в межах яких лежить генеральна середня . Ці кордони задають так званий довірчий інтервал генеральної середньої - випадкову область значень, яка з ймовірністю P, близькою до 1, гарантовано містить значення генеральної середньої. Цю ймовірність називають довірчою ймовірністю або рівнем надійності.

Величина коефіцієнта t (званого також коефіцієнтом довіри) є нормованим відхиленням, яке обчислюється за формулою t= і виражається не в натуральних одиницях, а в сигмах: 1σ, 2σ, 3σ і т.д.

Значення t підраховані для різних рівнів надійності P і протабулювати (зберігаються в таблицях інтегральної функції Лапласа). Для вищенаведених рівнів надійності P коефіцієнти довіри t задаються наступним чином:

P	0,683	0,954	0,997
t	1	2	3

Наприклад, якщо t = 2, то з імовірністю P = 0,954 можна стверджувати, що розбіжність між вибірковою і генеральною середніми | - | не перевищить дворазовою величини середньої | - | помилки вибірки: =| - |

Таким чином, гранична помилка вибірки дозволяє визначити граничні значення показників генеральної сукупності і їх довірчі інтервали.

Для генеральної середньої граничні значення і довірчі інтервали визначаються виразами: , (15)

Що стосується величини дисперсії генеральної сукупності σ²_N, то вона може бути оцінена безпосередньо по вибіркової дисперсії σ²_N.