1.3. Анализ моделей на чувствительность (графический метод)

После нахождения оптимального решения задачи линейного программирования естественно возникает вопрос изучения влияния изменения параметров модели на полученное оптимальное решение. Такое исследование называется анализом чувствительности.

Анализ модели на чувствительность позволяет дать ответы на следующие вопросы:

1. Можно ли увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции? На сколько можно увеличить запас этого ресурса?

2. Можно ли снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного значения целевой функции? На сколько можно снизить запас этого ресурса?

3. Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

4. В каких пределах могут меняться коэффициенты целевой функции при условии неизменности оптимального решения?

Первые три пункта соответствуют анализу модели на чувствительность к правым частям ограничений (запасам ресурсов), последний — на чувствительность к коэффициентам целевой функции (ценам).

Рассмотрим анализ чувствительности, основанный на графическом решении задачи.

Ограничение называется активным, если в точке оптимального решения оно выполняется как равенство. Прямая, соответствующая активному ограничению, должна проходить через оптимальную точку.

Ограничение называется неактивным, если в точке оптимального решения оно выполняется как строгое неравенство.

Ресурс называется дефицитным, если соответствующее ему ограничение является активным. Аналогично ресурс называется недефицитным, если соответствующее ему ограничение является неактивным.

Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений можно определить:

1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение,

2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального решения.

Для того чтобы определить предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, необходимо найти то предельное положение, после которого соответствующее ограничение становится избыточным.

Пример. Проведем анализ на чувствительность полученного решения в примере пункта 1.2. Точка оптимума получена пересечением прямых l₃ и l₄, следовательно, ресурсы S₃ и S₄ относятся к дефицитным, а S₁ и S₂ – к недефицитным.

Решение.

Рассмотрим ресурс S₃.

При увеличении этого ресурса прямая l₃ параллельно сама себе перемещается вверх до точки пересечения прямых l₁ и l₂, имеющей координаты (6; 8). Тогда значение ресурса S₃ должно быть увеличено до ед.

Значение прибыли составит Z^н=5000∙6+3000∙8=30000+24000=54000 у. д. е.

Рассмотрим ресурс S₄.

При увеличении этого ресурса прямая l₄ параллельно сама себе перемещается вверх до точки пересечения прямых l₁ и l₃, имеющей координаты (6; ). Тогда значение ресурса S₄ должно быть увеличено до ед.

Значение прибыли составит Z^н=5000∙6+3000∙ =30000+20000=50000 у. д. е.

Рассмотрим ресурс S₁.

При уменьшении этого ресурса прямая l₁ параллельно сама себе перемещается до точки пересечения прямых l₃ и l₄ (точки оптимума), имеющей координаты (5,5; 7). Тогда значение ресурса S₁ должно быть уменьшено до ед.

Значение прибыли не изменится.

Рассмотрим ресурс S₂.

При уменьшении этого ресурса прямая l₂ параллельно сама себе перемещается до точки пересечения прямых l₃ и l₄ (точки оптимума), имеющей координаты (5,5; 7). Тогда значение ресурса S₂ должно быть уменьшено до ед.

Значение прибыли не изменится.

Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу:

	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса, ед.	Максимальное увели­чение дохода от изме­нения ресурса, у.д.е.
1	Недефицитный	110 – 120 = – 10	48500 – 48500 = 0
2	Недефицитный	290 – 320 = – 30	48500 – 48500 = 0
3	Дефицитный	180 – 160 =+20	54000 – 48500 = + 5500
4	Дефицитный	186 – 180 = +	50000 – 48500= + 1500

Наиболее выгодный для изменения ресурс может быть определен сравнением «ценностей» ресурсов. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через у_i . Величина y_i определяется из соотношения:

.

Тогда

i	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса, ед.	Максимальное увели­чение дохода от изме­нения ресурса, у. д. е.	yi
3	Дефицитный	180 – 160 = + 20	54000 – 48500 = + 5500	275
4	Дефицитный	186 – 180 = +	50000 – 48500 = + 1500	225

Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения, в первую очередь, следует направить на увеличение ресурса S₃ и лишь затем на увеличение ресурса S₄.