Проверка организации записей как компетенции

Представьте перечисленные определения в виде «двухэтажных» записей.

Пример.

Дробь больше 0, если числитель и знаменатель одного знака. Возможны два случая: числитель и знаменатель положительны или числитель и знаменатель отрицательны.

Союз «и» говорит о том, что мы имеем дело с системой неравенств, союз «или» – с совокупностью.

Ответ: (–; –5)  (2; + )

Равносильность уравнений

Определение. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают, т.е. каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Если два уравнения не имеют корней, то они считаются равносильными.

Аналогично определяется равносильность неравенств, систем и совокупностей.

Свойства равносильности уравнений и неравенств

№	Свойства равносильности уравнений	Свойства равносильности неравенств
1.	Если к обеим частям
	уравнения	неравенства
	прибавить одно и то же число, то получится
	уравнение,	неравенство,
	равносильное данному.
2.	Если обе части
	уравнения	неравенства
	умножить или разделить на число,
	отличное от нуля,	большее 0,	меньшее 0, и при этом поменять знак неравенства на противоположный,
	то получится
	уравнение,	неравенство,
	равносильное данному.
3.	Если в какой-то части
	уравнения	неравенства
	выполнить тождественное преобразование, то получится
	уравнение,	неравенство,
	равносильное данному.

Организация записей как компетенция

Представляйте схожие утверждения в виде таблицы, где в одном столбике – утверждения для одного понятия, в другом – для второго понятия.

Задание

Приведите пример на каждое из свойств равносильности уравнений и неравенств.

№	Пример равносильных уравнений	Пример равносильных неравенств
1.
2.
3.

Не всегда удается решить уравнение, используя только три указанных свойства равносильности. Может сложиться ситуация, что каждый корень первого уравнения является решением второго, но не всякое решение второго уравнения является корнем первого. Говорят, что второе уравнения является следствием первого уравнения. Если такое случается, то в уравнении следует делать проверку.

Пример. . Если данное уравнение заменить на , то полученное уравнение будет следствием первого. Это уравнение имеет корни: –2 и –5. Однако, корень –5 является посторонним, так как при ­–5 дробь не имеет смысла.

Чтобы избежать ситуации потери корней или приобретения посторонних корней, следует соблюдать основное правило решения: в процессе решения надо сохранять ограничения на область определения, на область значений входящих функций.

Тогда приведенное уравнение следовало решать так:

 (дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель ______________, а знаменатель __________________).