Элемент математической культуры как компетенция

ЭМК О способах сведения сложных уравнений к простейшим

1. Применение равносильных преобразований (пример: сведения к линейному уравнению).

2. Замена уравнения совокупностью (произведение равно 0, если хотя бы 1 множитель равен 0, а другой при этом не теряет смысла). Чтобы применить этот способ, нужно предварительно все слагаемые перенести в левую часть и разложить ее на множители.

3. Замена уравнения системой уравнения и неравенства (пример: дробно-рациональные уравнения).

4. Метод замены переменных (пример: биквадратные уравнения).

III. Уравнения и неравенства с модулем.

Основная идея: раскрыть модуль. Для этого надо знать, какой знак принимает подмодульное выражение.

Схема решения.

1. Найти модульные нули.

2. Нанести найденные нули на координатную прямую и выделить образовавшиеся интервалы.

3. Определить знак каждого подмодульного выражения на каждом из интервалов.

4. Решить уравнение (неравенство) на каждом из интервалов: 1) раскрыть модуль на выбранном интервале; 2) решить полученное уравнение (неравенство); 3) выбрать решения, попадающие в выбранный интервал.

Пример 1. Решить неравенство: х² – 5х + 4> х –3.

Шаг 1. Найдем модульные нули.

____________ = 0; х = ___, х = ___.

Шаг 2. Нанесем найденные нули на координатную прямую и выделим образовавшиеся интервалы.

Шаг 3. Определим знак каждого подмодульного выражения на каждом из интервалов.

Шаг 4. Решим неравенство на каждом из интервалов:

а) х  __ б) __ х  __ в) х  __

1) раскрываем модуль

_____________ > х – 3;

2) решаем полученное неравенство

х² – 6х + 7 > 0

х² – 6х + 7 = 0

х = 3 –….., х = 3 + …

х

3) выберем решение, попадающее в интервал

х  ________.

Самостоятельно рассмотреть остальные случаи.

Ответ: _________________________________________________________________

Элемент математической культуры как компетенция

ЭМК Об использовании аналогии при решении математических заданий

Если для решения различных примеров (различных случаев одного примера) используется единая схема, то использование аналогии обеспечивает успешность решения.

–

+

–

–

–

+

+

+

3

х

4

1

Самостоятельно решить.

Пример 3. Решить уравнение: х² – 5х + 4= х –3.

Что изменится?

а) х  1

1) раскрываем модули

х² – 5х + 4 = –х + 3;

2) решаем полученное уравнение

х² – 4х + 1 = 0

х = 2 – ; х = 2 +

3) выберем решение, попадающее в интервал

х = 2 – .

Самостоятельно рассмотреть остальные случаи.

Замечание.

1. Если дано уравнение или неравенство вида f(х)  а, то надо уметь устно избавляться от модуля.

2. Если дано уравнение или неравенство вида ах² + bх + с  0, то удобно решать заменой переменных: х = t.

IV Методы решения систем уравнений.

Метод подстановки:

1. выражаем одну из переменных в одном из уравнений;

2. подставляем полученное выражение во второе уравнение вместо этой переменной;

3. решаем уравнение с одной переменной;

4. находим значение второй переменной.

Графический метод:

1. Построить график каждого уравнения.

2. Найти точки пересечения графиков или доказать, что их нет.

3. Определить координаты точек пересечения.

Метод сложения:

1. уравнять коэффициенты перед одной из переменных или сделать их противоположными;

2. сложить или вычесть полученные уравнения, чтобы получилось уравнение с одной переменной;

3. решить уравнение с одной переменной;

4. подставить найденное значение переменной в одно из уравнений системы и найти значение второй переменной.

В случае, если есть повторяющиеся выражения, то применяют метод замены переменных.

Пример 1. Решить систему уравнений тремя методами:

Пример 2. Определить способ решения, если будет задана система:

Пример 3. Определить способ решения, если будет задана система: