2.Основныепонятия

Нарис.1приведенграфик

функции

zf(x,y),опреде-

Рис.1.

леннойвобластиинтегрирова-нияD.Функцияявляетсяне-прерывнойвобластиопреде-ления.ДляформулированияпонятиядвойногоинтегралапроизведемразбиениеобластиинтегрированияDнаnэле-ментарныхплощадейдвумясистемамивзаимнопересека-

ющихся линий, которые обозначены через

∆s_1,∆s_2,

∆s_3,..∆s_i,..∆s_n

(рис.1).Системылинийрасполагаютсяпроиз-

вольнымобразом.Внутрикаждогоинтервала

∆s_iосуществля-

етсявыборточки

P(x_i,yi)

(произвольнымобразом),вкоторой

вычисляется функция z_i=f(х_i, у_i). Составим сумму ви-

n−1

^да∑^f(x_i^,y_i^)∆s_i^{,котораяназываетсяинтегральнойсуммой.}

i0

Еслипотребовать,чтобы

λmax∆d_i→0

(d_iдиаметрi—

элементарнойплощадки),тогдачислослагаемыхвинтеграль-нойсумменеограниченновозрастает.

Определение.

Еслисуществуетконечныйпределинтегральныхсумм

n−1

∑^f(x_i^,y_i^)∆s_i^при

i0

λmax∆d_i

→0,причемпределнезави-

ситотспособаразбиенияобластиDнаnплощадок,атакже

n−1

выбораточекP(х_i,у_i),внутри

∆s_i,тогда

^{σlim∑}^f(x_i

λ→0_i0

,y_i

)∆s_i

называетсядвойныминтеграломотфункцииf(х,у)пообласти

Dиобозначаетсясимволом

def

n−1

_∫∫f(x,y)dslim_∑f(x

,y)∆s

. (1)

D ^{λ→0i0}

i i i

Определениеинтегралапредполагает,чтоинтегрируемаяфункцияявляетсяограниченной.Всоответствиисопределени-емдвойнойинтегралотфункцииf(х,у)равенобъемуцилин-дрическоготела,приведенногонарис.1.Вэтомзаключаетсягеометрическийсмыслдвойногоинтеграла.

Двойныеинтегралыобладаютследующимиосновнымисвойствами.1).Еслиподинтегральнаяфункцияf(х,у)=1,тогдадвойнойинтегралсовпадаетсплощадьюобластиинтегрирова-нияD.Всамомделе,интегральнаясумма(1)вэтомслучаеприближенносовпадаетсплощадьюобластиD,приведеннойнарис.1.ПлощадьDимеетконечныеразмеры.Врезультате

предельногоперехода

λmax∆d_i→0

приближенноеравен-

ствостановитсяточным.2).Двойнойинтегралоталгебраиче-скойсуммыподинтегральныхфункцийравеналгебраическойсуммедвойныхинтеграловоткаждойфункции.3).Если

f(x,y)≥0

вобластиD,тогда _∫∫f(x,y)ds≥0.

D

4).Если

f(x,y)≥g(x,y)

в области интегрирования D, тогда

_∫∫f(x,y)ds≥_∫∫g(x,y)ds.5).ЕслиобластьDразбитаначасти,

D D

которыенеимеютобщихвнутреннихточек(т.е.

DD_1D_2),

тогда

_∫∫f(x,y)ds_∫∫f(x,y)ds_∫∫f(x,y)ds.6).Еслиподинте-

D D₁ D₂

гральнаяфункцияf(х,у)являетсянепрерывной,тогдавобласти

DсуществуетточкаP(х_с,у_с),что

_∫∫f(x,y)dsf(x_c,y_c)⋅S_D,

D

где

S_D−

площадьобластиD.

Рассмотримвычислительнуюформулудвойногоинтеграла.Пустьзаданафункцияf(х,у),непрерывнаявобластиинтегри-

рованияD.Графикфункцииz

f(x,y)

приведеннарис.2а.В

соответствиисгеометрическимсмысломобъемпространствен-

ноготеларавен

V_∫∫f(x,y)ds.

D

Рассмотримсечениепро-

странственноготелаплоскостью

xconst.Нарис.2аэта

плоскостьуказанаштриховкой.Нарис.2бприведенееслед.Штрихованнаяплоскостьестькриволинейнаятрапеция,мно-жествоточек

а _б

Рис.2.

которойимеетодинаковуюxкоординату(x=const).Ееплощадьможетбытьвычисленаспомощьюопределенногоинтеграла

y₂₍x)

S(x)

_∫f(x,y)dy,посколькуподинтегральнаяфункция—

y₁₍x)

этофункциятолькопеременнойy.Очевидно,чтопределыин-тегрированияменяютсявзависимостиотвыборасечения,т.е.отзначенияx(рис.2б).Объемпространственноготеларавен

b by₂₍x)

b y₂₍x)

V_∫S(x)dx_∫(

_∫f(x,y)dy)dx_∫dx

_∫f(x,y)dy.

(2)

a ay₁₍x)

a y₁₍x)

Формула(2)связываетдвойнойинтегралсопределенным.Такимобразом,

b

_∫∫f(x,y)ds_∫dx

y₂₍x)

_∫f(x,y)dy.

(3)

D a y₁₍x)

Полученныйдвойнойинтеграл(3)называетсяповторныминтегралом,которыйестьсовокупностьдвухопределенныхин-тегралов.Первый—попеременнойy(внутреннийинтеграл),т.к.xфиксировано,икоторыйявляетсяподинтегральнойфунк-циейвнешнегоинтегралапопеременнойx.Длявычисления

двойногоинтеграладостаточнознанияметодоввычисленияопределенныхинтегралов.

Полагаем,чтообластьинте-грированиянаплоскостизаданавполярнойсистемекоординат(рис.3).РазобьемобластьDсет-койлинийнаэлементарные

площадки

∆s_i

≈ρ∆ϕ_i∆ρ_i.

Со-

Рис.3.

n−1

ставим интегральную сумму

n−1

следующеговида:

∑^f(ϕ_i^,ρ_i^)Δs_ii0

^∑^f(ϕ_i^,ρ_i^)ρ_i^Δϕ_i^Δρ_i^.По-

i0

лагая,что

λmax∆d_i

→0,приусловиинепрерывности

функции

f(ϕ,ρ)

пределинтегральнойсуммыбудетстремиться

кконечномупределу.Двойнойинтегралможетбытьсведенксовокупностидвухопределенныхинтегралов.Внутреннийпопеременной—ρ,авнешний—ϕ.

n−1

^lim∑^f(ϕ

,ρ)∆s

n−1

^lim∑^f(ϕ

,ρ)ρ∆ϕ∆ρ

λ→0_i0

i i i

β ^ρ₂^(ϕ)

λ→0_i0

i i i i i

_∫dϕ

α

_∫f(ϕ,ρ)ρdρ.

ρ₁₍ϕ)

(4)

Пустьданафункцияf(х,у,z),котораяопределенавпро-странственнойобластиV(рис.4).Поаналогииспостроениеминтегральнойсуммыдвойногоинтеграларазобьемпростран-

ственнуюфигуруVпроизвольнонаnэлементарныхобъемов

∆v_1,∆v_2,∆v_3,..∆v_i,..∆v_n.Внутрикаждого

∆v_iпроизвольновы-

n−1

беремточкуP(х_i,у_i,zi)исоставимсумму_∑f(x_i,y_i,z_i)∆v_i,ко-

i0

тораяназываетсяинтегральнойсуммойфункцииf(х,у,z).По-

лагая,что

λmax∆d_i→0

(где

Рис.4.

d_iдиаметрi—элементарногообъема),тогдачислослагаемыхвинтегральнойсумменеограничен-новозрастает.Вслучаенепрерыв-нойфункцииf(х,у,z)интеграль-наясуммастремитсякконечномупределу.