Определение.

Еслисуществуетконечныйпределинтегральныхсуммпри

λmax∆l_i

→0,причемэтотпределнезависитотспособа

разбиениядугиABнаnчастичныхдуг,атакжепроизвольного

выбораточекM(х_i,у_i,zi),тогда

n−1

^{σlim∑}^f(x_i

^λ→0i0

,y_i

,z_i

)∆l_i

назы-

ваетсякриволинейныминтегралом1-городафункцииf(х,у,z)

подугеABиобозначаетсясимволом

n−1

^lim∑^f(x_i^,y_i^,z_i^)∆l_i

λ→0_i0

def



_∫f(x,y,z)dl,

AB

гдеdl–дифференциалдуги,dl

dx^2dy^2dz^2.

ЕслинадугеAB,заданнойнаплоскостиx0y,определенафункцияf(х,у),тогдакриволинейныйинтеграл1-городаопре-

деляетсяследующимобразом:

n−1

^lim∑^f(x_i^,y_i^)∆l_i

λ→0_i0

def



_∫f(x,y)dl,

AB

адифференциалдуги–dl

dx^2dy^2.

Косновнымсвойствамкриволинейныхинтегралов(КР)1-городаотносятсяследующие.1).КРнезависитотнаправле-

нияпутиинтегрирования _∫

f(x,y)dl

_∫f(x,y)dl.

2).КРот

AB BА

алгебраическойсуммыинтегрируемыхфункцийравеналгебра-ическойсуммеинтеграловоткаждойфункции.3).Постоянныймножительможетбытьвынесениз-подзнакакриволинейного

интеграла.4)._∫

f(x,y)dl_∫

f(x,y)dl

_∫f(x,y)dl.

AB АС СB

ВычислениеКРсводитсяквычислениюопределенногоин-теграла.Рассмотримвычислениекриволинейныхинтегралов1-городадляразличныхслучаевзаданияуравнениядугиABнаплоскостиx0yипространстве.

1).ПустьдугаABзадананаплоскостиx0y:

yϕ(x),

a≤x≤b,тогдаdl

b

1(ϕ^′(x))^2dx,следовательно,

_∫f(x,y)dl_∫f(x,ϕ(x))

1(ϕ^′(x))^2dx.

(8)

AB a

2).ДугавпространствеABзаданавпараметрическойфор-

ме xx(t),

yy(t),

zz(t),

α≤t≤β,

тогда

dl

2

(x^′_t)

2

(y^′_t)

β

2

(z^′_t)

dt,следовательно,

2 2 2

_∫f(x,y,z)dl_∫f(x(t),y(t),z(t))

(x^′_t)

(y^′_t)

(z^′_t)

dt.

(9)

AB α

3).ДугаABзаданауравнениемвполярныхкоординатах

ρρ(ϕ).

Воспользуемсяформуламипереходавполярнуюси-

стему

xρcos(ϕ),

yρsin(ϕ),

причем

α≤ϕ≤β,

тогда

dl

2

2

ρ(ρ^′_ϕ)

dϕ.Откудаследует,что

2

2

β

_∫f(x,y)dl_∫f(ρcos(ϕ),ρsin(ϕ))

AB α

ρ(ρ^′_ϕ)

dϕ.

(10)

ПустьналинииABвпространстве(рис.5)заданонаправ-ление.ТочкаAэтоначало,аточкаB–конецлинии.Элемент

дуги

∆l_i

{∆x_i,∆y_i,∆z_i}

вэтомслучаеявляетсявекторнойве-

личиной.НалинииABопределенатакжевекторнаяфункция

F(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),т.е.вдекартовойсистеме

F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k.

Послеразбие-

ниядугиABнаnчастейивыбораточкиM(х_i,у_i,zi),скалярное

произведениевекторов

F(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

иdl

можетбытьзаписановкоординатнойформе.Тогдаинтеграль-наясуммаравна

n−1

n−1

∑^F(P(x_i^,y_i^,z_i^),Q(x_i^,y_i^,z_i^),R(x_i^,y_i^,z_i^))dl_i^

i0

^∑^[P(x_i^,y_i^,z_i^)∆x_i^Q(x_i^,y_i^,z_i^)∆y_i^R(x_i^,y_i^,z_i^)∆z_i^].

i0

(11)

Врезультатепредельногоперехода

λmax∆l_i→0

при

условиинепрерывностифункции

F(x,y,z)

интегральнаясум-

ма(11)будетравнаконечномузначению.