Решение:

U(x)arctg(x),иU(x)arcctg(x).

Приведенныеинтегралывзаданииотносятсякуказаннымтипам.

а).Применимкинтегралуформулу(4):





^{U(x)x,⇒dU(x)dx,} 

3

_∫xe^xdxdV(x)e^xdx,⇒

dV(x)

3

e^xdxxe^x|3−_∫e^xdx



^{1 }_V(x)e^x.

∫ ∫  ₁

_ 1

1

3e³⁻3e−e^x|33e³⁻3e−e^3e^1.

б).Длявычисления2-гоинтегралатакжевоспользуемсяформулой(4):

π/2

∫

^{U(x)x,⇒dU(x)dx,} 

 _

xsin(2x)dx_dV(x)sin(2x)dx,⇒_∫dV(x)_∫sin(2x)dx,_

^{0 }_V(x)0.5_∫sin(2x)d(2x)−0.5cos(2x). _^

−¹

0

xcos(2x)|^π/2

_1π/2 ₁

_∫cos(2x)dx−

xcos(2x)|^π/2

2

_1π/2

^{20 2}

0

0

1 _/ 1 _/

 _∫cos(2x)d(2x)−

^{40 2}

xcos(2x)|^π

^2 sin(2x)|^{π2}

0

4

−^1(πcos(π)−cos0)¹⁽sin(π)−sin0)

22 4

−¹⁽−^π−1)¹⁰^1(π1).

2 2 2 22

Задача3.Вычислитьплощадьплоскойфигуры,ограничен-

нойкривой

y4x−x^2иосью0x.

Решение:

Даннаякривая,y4x−x^2,этоестьпарабола,ветвикото-ройнаправлены«вниз»,т.е.впротивоположнуюсторонуотнаправленияоси0y,рис.4.Найдемкоординатывершиныпара-болы.Дляэтогоприведемуравнениекривойквиду:

2

y(x−x₀₎

болы.

y_0,

где

(x_0,y₀₎

• координатывершиныпара-

y4x−x^24−44x−x^24−(x−2)^2.

Такимобразом,вершинарасположенавточкескоординатами(2,4).Найдемточкипересеченияпараболыиоси0x.Дляэтогонеобходиморешитьсистему

^y0

Рис.4.

уравнений

 ₂

_y4x−x

Системаимеет

.

решение,если

x0,

x4.Параболапересекаетось0xвдвух

точкахскоординатамиставленнарис.4.

A(0,0),

B(4,0).Графикпараболыпред-

Найдемплощадьфигурыограниченнойпараболойиосью

0x.Изпостроенияследует,что

4

S_∫(4x−x²⁾dx2x^2|4−

x∈[a,b].Тогда

^1x3|42(16−0)−

¹⁽48−0)

32⁰−1616.

0 ₃ 0 ₃

Задача4.Вычислитьнесобственныеинтегралыилидока-

∞

затьихрасходимость:а)._∫arctg(x)

1

dx

1x²

1

,б)._∫

0

dx _,

1−x²

∞

в)._∫

xdx_.

2^x2−2

Решение:

Интегралвзаданииотноситсякнесобственныминтегралампонеограниченномупромежутку.

Поопределениюнесобственногоинтеграла1-города(7)мыимеем

а).

∞

_∫arctg(x)

1

dx

1x²

A

lim_∫arctg(x)

A→∞₁

dx _

1x²

Подзнакомпределанаходитсяинтеграл,которыйприлю-

бомконечномAможетбытьвычислензаменойпеременной.

 ^dx 

_arctg(x)t,⇒_1x2

dt, _

^dxdt(1x²⁾,⇒arctg(1)α^

 ^,

^arctg(A)β. ^

 

 

arctg(A) ^{2 2}

∫ _t(1x

|^arctg(A)^1limarctg(A)−arctg(1)

lim

^)dtlim^t

^A→∞arctg(1)

(1x²⁾

A→∞₂

arctg(1)

_2A→∞

_2A→∞

2

^{1}

^^{3π.}

_4_{} 32

б).Интегралвзаданииотноситсякнесобственныминтегра-лам2-города.Особаяточкасовпадаетсверхнейграницейин-тервала[0,1].Приx=1подинтегральнаяфункцияявляетсяне-ограниченной.Первообразнойдляподинтегральнойфункцииявляетсяarcsin(x).Воспользуемсяопределением(8).

∫

lim_∫

⁰ 1−x²

1−x²

limarcsin(1−δ)−arcsin(0)arcsin(1)−arcsin(0)^π.

Интегралсходитсяиравен^π.

в).Согласноопределениюнесобственногоинтеграла1-города

^Bxdx 1

ln|x²⁻2||^B

^B→∞2^x2−2

^1limarctg²⁽A)−arctg²⁽1)^1arctg²⁽∞)−arctg²⁽1)

^^π2

2

^π^{ 2}

^−

2_{2}

Откудаследует,чтонесобственныйинтегралсходится.

¹ dx

1−δ _dx

limarcsin(x)|^1−δ

δ→0₀

δ→0 ⁰

δ→0 ₂

2

^∞xdx

_∫ lim_∫ lim

2^x2−2

B→∞₂ ²

lim^1(ln|B²⁻2|−ln|2²⁻2|)∞.

B→∞₂

Несобственныйинтегралрасходится.

Задача5.Найтиобъемтелавраще-ния, образуемого цепной линией

f(x)^a(e^x/ae^−x/a)

2

вокругоси0x

напромежутке

x∈[0,b]гдеa–пара-

Рис.5.

метрцепнойлинии.